Matematické Fórum

dog.big · 25. 10. 2010 09:38

Zdravím,
potřebuju poradit s výpočtem inverzní fce. Dle skript "stačí" prohodit x za y a úlohu řešit jako klasickou rovnici. Avšak dle jiného zdroje se zaměňují položky v rozvnici dle vzorců a poté se fce vypočítá. Jak mám tedy postupovat? Díky moc :).

Zadání:

Můj postup:
N/A

Má vyjít:

Díky moc
S pozdravem
Charvát alias dog.big

jelena · 25. 10. 2010 09:59

↑ dog.big:

To je celkem jedno - který postup. Účelem je skutečně pomocí povolených úprav vyjádřit x jako funkci y a provést formální přejmenování.

Důležité je stanovit obor, na kterém jsou funkcé prosté - zde jsou si inverzní.

Něco hodně podobného jsme ukazovali s kolegou.

dog.big · 29. 10. 2010 16:10

Zdravím,
tak jsem provedl dle návodu uživatelky jelena inverzi této fce.
.

Teď bych potřeboval poradit, jak zjistit ty definiční obory a obory hodnot u normální fce a inverzní. Vztahy si pamatuji (Df(f)=H(f^-1) a H(f)=Df(f^-1). Díky.

S pozdravem
Charvát alias dog.big

jelena · 29. 10. 2010 16:38

↑ dog.big:

děkuji, úprava a odvození inverzní funkce vypadá v pořádku (snad). Pro stanovení def. oboru a oboru hodnot pro původní funkci vycházíme z vlastnosti funkce arccos, tedy def. obor se najde jako řešení nerovnice

-1<=(x-1)/2<=1

Obor hodnot - pro arccos(...) víme z definice a upravíme pomocí násobení (-1), přičtení (2) a podělení celého výsledku 3. Tedy přesně podle zadání původní funkce.

Z vlastnosti funkce cos(...) provedeme kontrolu, zda platí vztahy pro původní a inverzní funkci.

dog.big · 01. 11. 2010 09:34

Zdravím,
děkuji. Povedlo se mi najít definiční obor, ale stále sem "zaseklý" u zjišťování oboru hodnot. Pokud správně chápu tak x je v daném intervalu. Avšak nenapadá mě "nic lepšího" než-li dosazovat xko. Což nevede k požadovanému výsledku. Děkuji za pomoc.

S pozdravem
Charvát alias dog.big

jelena · 01. 11. 2010 11:17

↑ dog.big: def. obor se zdá být v pořádku, pouze formálně - jedna dvojita nerovnice se přepiše na soustavu nerovnic (v pořádku), místo spojky a dáme znak $\wedge$ ("a zároveň").

Potom řešíme 2 samostatné nerovnice (u první nerovnice je překlep, někam zmizla 2 z jmenovatele?). Výsledkem je průník intervalů=řešení jednotlivých nerovnic (výsledek je číselně v pořádku).

-------------------------
Obor hodnot:

dle definice funkce arccos obor hodnot $h(x)=\rm{arccos}$\frac{x-1}{2}$$ je od $0$ do $\pi$ (vnitřní funkce neovlivnuje obor hodnot, má význam pouze pro def. obor). Proto plati:

$0\leq \rm{arccos}$\frac{x-1}{2}$\leq \pi$
Provedu operace přesně dle predpisu původní funkce:

nasobim (-1): $0\geq -\rm{arccos}$\frac{x-1}{2}$\geq -\pi$
prictu 2: $0+2\geq 2-\rm{arccos}$\frac{x-1}{2}$\geq -\pi+2$
podelim 3: $\frac23 \geq \frac{2-\rm{arccos}$\frac{x-1}{2}$}{3}\geq \frac{-\pi+2}{3}$
pouze vzhledove prepisi nerovnici tak, aby se dobre urcovala leva a prava hodnota intervalu oboru hodnot

$\frac{-\pi+2}{3}\leq \frac{2-\rm{arccos}$\frac{x-1}{2}$}{3}\leq \frac23$

Obor hodnot: $\frac{-\pi+2}{3}\leq f(x)\leq \frac23$

Je to v pořádku? Děkuji. Jelena alias jelena.

------------------
alespoň pobavím matematickou věřejnost, co už ....