Matematické Fórum

BakyX · 17. 11. 2010 19:47

Chcel by som len povedať, že cez deriváciu to už mám vyriešené, ale nejaké elegatné riešenie by som prijal :)

Pavel · 17. 11. 2010 20:16 — Editoval Pavel (17. 11. 2010 20:48)

Elegantní řešení:

Nechť $X=[x,0]$ je bod v Euklidovské rovině $\mathbb{R}^2$ . Pak jeho vzdálenost od bodu $A=[0,5]$ je $\sqrt{x^2+25}$ . Vzdálenost bodu $X$ od bodu $B=[6,4]$ je $\sqrt{(x-6)^2+16}=\sqrt{x^2-12x+52}$ . Hledání minima součtu $\sqrt{x^2+25}+\sqrt{x^2-12x+52}$ lze převést na hledání bodu $X=[x,0]$ ležícího na ose x, pro který je součet vzdálenosti $|XA|+|XB|$ co nejmenší. Nicméně vzdálenost bodu $|XA|$ je stejná jako vzdálenost $|XA'|$ , kde $A'=[0,-5]$ . Proto bod $X$ najdeme jako průsečík přímky procházející body $A$ , $B$ s osou $x$ . tj.

$X=\left[\frac{10}3\,,0\right],$

proto řešení úlohy je $\color{red} x=\frac{10}3$ .

BakyX · 17. 11. 2010 20:18

Vďaka..Už len to pochopiť a je to :)

jelena · 17. 11. 2010 20:26

↑ Pavel:

také děkuji velmi.

Cestou Opavou jsem došla na to, že výrazy pod odmocninou jsou přepony pravoúhlých trojúhelníků s jedním bodem na ose x (x, 0) a odvesnou na ose x. Minimální součtová délka by se hledala použitím osové souměrnosti (taková úloha na odražený paprsek nebo na tenisový míč), ale asi bych to nedokázala dokončit.

Děkuji.

jelena · 18. 11. 2010 00:38

↑ Pavel: děkuji za přidaný obrázek a za čas.

Matematické Fórum

#26 17. 11. 2010 19:47

Re: Kedy má daný výraz najmenšiu hodnotu

#27 17. 11. 2010 20:16 — Editoval Pavel (17. 11. 2010 20:48)

Re: Kedy má daný výraz najmenšiu hodnotu

#28 17. 11. 2010 20:18

Re: Kedy má daný výraz najmenšiu hodnotu

#29 17. 11. 2010 20:26

Re: Kedy má daný výraz najmenšiu hodnotu

#30 18. 11. 2010 00:38

Re: Kedy má daný výraz najmenšiu hodnotu

Zápatí