Matematické Fórum

janicek11 · 04. 01. 2011 11:37

Prosím o pomoc s tímto příkladem, nějak se v těch absolutních hodnotách ztrácím:

$|cos(x)|<\frac{1}{2}$
Děkuji moc

Honzc · 04. 01. 2011 12:45

↑ janicek11:
Nejlépe je si nakreslit jednotkovou kružnici, uvědomit si, že fce cos(x) se zobrazuje na osu x, a podívat se pro jaké úhly je x v intervalu (-1/2,1/2)

janicek11

skusil jsem si danou nerovnici rozdělit takto:

$cos(x)<\frac{1}{2}$
$cos(x)>\frac{1}{2}$

Pro první případ dostanu: $x \in (\frac{\pi}{3}; \frac{5}{3}\pi)$
Pro druhý případ: $x \in (0; \frac{2}{3} \pi ),(\frac{4}{3} \pi; 2 \pi)$
Prosím mát to dobře?

zdenek1

↑ janicek11:
To asi ne.

Řešení v jedné periodě je ta tlustá černá čára.
Ta tvoje nerovnice vypadá
$-\frac12<\cos x<\frac12$

Honzc · 04. 01. 2011 14:36

↑ zdenek1:
Ovšem je třeba podotknout (i když z obrázku je to zřejmé), že perioda je pi a ne jako "normálně" 2pi

janicek11 · 04. 01. 2011 14:41

↑ zdenek1:
Mohlo by to být takhle?

$x \in (\frac{\pi}{3};\frac{2}{3} \pi),(\frac{4}{3}\pi;\frac{5}{3} \pi)$

Jinak u6 fakt nev9m jak to sestavit

Rumburak

Není to dobře. Nerovnice $|cos(x)|<\frac{1}{2}$ je ekvivalentní se složenou nerovnicí

$-\frac{1}{2}<cos(x)<\frac{1}{2}$ .

Z průběhu fce cos snadno určíme na reálné ose dvě množiny bodů, které této složené nerovnici vyhovují:

$M_1 = \bigcup_{n\in\mathb {Z}} $\frac{\pi}{2} + 2n\pi - \frac{\pi}{6}\,, \,\frac{\pi}{2} + 2n\pi + \frac{\pi}{6}$ =\bigcup_{n\in\mathb {Z}} $\frac{\pi}{3} + 2n\pi\,, \,\frac{2\pi}{3} + 2n\pi$$ ,

$M_2 = \bigcup_{n\in\mathb {Z}} $\frac{3\pi}{2} + 2n\pi - \frac{\pi}{6}\,, \,\frac{3\pi}{2} + 2n\pi + \frac{\pi}{6}$ =\bigcup_{n\in\mathb {Z}} $\frac{4\pi}{3} + 2n\pi\,, \,\frac{5\pi}{3} + 2n\pi$$ .

EDIT. Tento můj příspěvek je reakcí na ↑ janicek11:.
Zde ↑ janicek11: už je to tedy dobře až na periodu.

Matematické Fórum

#1 04. 01. 2011 11:37

goniometrická nerovnice

#2 04. 01. 2011 12:45

Re: goniometrická nerovnice

#3 04. 01. 2011 14:13 — Editoval janicek11 (04. 01. 2011 14:15)

Re: goniometrická nerovnice

#4 04. 01. 2011 14:25 — Editoval zdenek1 (04. 01. 2011 14:58)

Re: goniometrická nerovnice

#5 04. 01. 2011 14:36

Re: goniometrická nerovnice

#6 04. 01. 2011 14:41

Re: goniometrická nerovnice

#7 04. 01. 2011 14:46 — Editoval Rumburak (04. 01. 2011 14:53)

Re: goniometrická nerovnice

Zápatí