Matematické Fórum

PeterSheldon · 09. 01. 2011 20:46

Nevěděl jsem si rady při zkoušce s touto limitou. Poradili byste mi jak jí spočítat?

Pavel · 09. 01. 2011 22:28 — Editoval Pavel (09. 01. 2011 22:29)

↑ PeterSheldon:

Limitu lze počítat několika způsoby, mezi nejkratší patří ten využívající zobecněnou binomickou větu resp. Taylorův rozvoj funkce $\sqrt[n]{1+x}$ a Landauovy symboly.

$\large \lim_{x\to\infty}(\sqrt[n]{(x+a_1)\cdots(x+a_n)}-x)=\lim_{x\to\infty}\left(x\sqrt[n]{\left(1+\frac{a_1}{x}\right)\cdots\left(1+\frac{a_n}{x}\right)}-x\right)=\lim_{x\to\infty}\left(x\sqrt[n]{1+\frac{1}{x}(a_1+\dots+a_n)+o\left(\frac 1x\right)}-x\right)=\nl =\lim_{x\to\infty}\left(x\left(1+\frac 1n\cdot\frac{1}{x}(a_1+\dots+a_n)+o\left(\frac 1x\right)\right)-x\right)= \lim_{x\to\infty}\left(x+\frac 1n(a_1+\dots+a_n)+o(1)-x\right)=\frac 1n(a_1+\dots+a_n)\,.$

PeterSheldon · 09. 01. 2011 22:50

↑ Pavel:

mám dotazm jak jsi z té odmocniny dostal najednou 1/n a co znamená to o(1/x) ??

FailED · 09. 01. 2011 22:56 — Editoval FailED (09. 01. 2011 23:52)

Když už to mám napsané, posílám řešení klasickým rozšířením:

$\lim_{x\to\infty}\[\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n$x+a_i$}-x\]=\lim_{x\to\infty}\frac{\prod_{i=1}^n$x+a_i$-x^n}{\sum_{i=0}^{n-1}$\prod_{i=1}^n\(x+a_i$\)^{\frac{i}{n}}\cdot x^{n-1-i}}= \nl =\lim_{x\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n a_ix^{n-1}+O(x^{n-2})}{\sum_{i=0}^{n-1}$x^n+O\(x^{n-1}$\)^{i/n}\cdot n^{n-1-i}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n a_ix^{n-1}+O(x^{n-2})}{x^{n-1}\cdot\sum_{i=0}^{n-1}$1+O\(x^{-1}$\)^{i/n}}=\frac{\sum_{i=1}^na_i}{n}$

OT: Jsem to jen já nebo fórum hrozně laguje?

PeterSheldon · 09. 01. 2011 23:04

↑ FailED:

vypadává spojení s forem, viz ping www.forum.matweb.cz

FailED · 09. 01. 2011 23:32 — Editoval FailED (09. 01. 2011 23:35)

↑ PeterSheldon:

Aha, díky.

↑ PeterSheldon:

g(x)=o(f(x)) pro x->a znamená $\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{f(x)}=0$ (respektive nějak podobně, aby se nedělilo 0).

Podobně g(x)=O(f(x)) pro x->a znamená, že pro x z nějakého okolí a platí $|g(x)|<c|f(x)|$ pro nějakou konstantu c.

PeterSheldon · 09. 01. 2011 23:37

↑ FailED:

díky za vysvětlení

Matematické Fórum

#1 09. 01. 2011 20:46

Limita funkce

#2 09. 01. 2011 22:28 — Editoval Pavel (09. 01. 2011 22:29)

Re: Limita funkce

#3 09. 01. 2011 22:50

Re: Limita funkce

#4 09. 01. 2011 22:56 — Editoval FailED (09. 01. 2011 23:52)

Re: Limita funkce

#5 09. 01. 2011 23:04

Re: Limita funkce

#6 09. 01. 2011 23:32 — Editoval FailED (09. 01. 2011 23:35)

Re: Limita funkce

#7 09. 01. 2011 23:37

Re: Limita funkce

Zápatí