Matematické Fórum

informatik · 16. 05. 2008 09:55

Poradil by mi někdo jak
Ukázat, že množina kladných realnych čísel tvaru
$a+b*\sqrt{2}$ kde $a,b \in Q$
vybavená operací násobení tvoří grupu ?
jde mi spíš o to jak to zapsat, samozřejmě podmínky zda jde o grupu znám ale neumim to ukázat. POkud by se našla nějaká dobrá duše která by mi poradila tak budu rád. Díky

xificurC

↑ informatik:
Na tvorbu grupy potrebuju byt splnene styri podmienky:

1. $\forall q_1,q_2 \in Q(\sqrt{2}) :$ $q_1 \cdot q_2 \in Q(\sqrt{2})$ To by nemal byt problem, $(a_1 + b_1\sqrt{2})\cdot(a_2+b_2\sqrt{2})=(a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{2}$ , kde prva aj druha zatvorka patri do Q, teda cely vyraz patri do danej mnoziny.

2. Asociativnost binarnej operacie, ta vsak vyplyva z toho, ze $Q(\sqrt{2})$ je podmnozinou realnych cisel a ta je asociativna.

3. $\exists e \in Q(\sqrt{2}):$ $e\cdot a= a\cdot e = a$ Rozpisovat sa mi to moc nechce, ale vyjde, ze neutralnym prvkom je $1 + 0\sqrt{2}$ , co taktiez patri do danej mnoziny.

4. $\forall q_1 \in Q(\sqrt{2}) \exists q_1^{-1} \in Q(\sqrt{2}):$ $q_1\cdot q_1^{-1} = q_1^{-1} \cdot q_1 = e$ Nechce sa mi pocitat, ale vyjde to, skus si to :) Vyjdu dve rovnice a inverzne koeficienty si z nich vyjadris pomocou druheho cisla a mas vysledok. Moze byt? :)

robert.marik · 16. 05. 2008 13:01

ad 3) plyne z toho ze grupe realnych cisel ma jednicku a ta lezi v nasi mnozine

ad 4) overoval bych jenom inverzi z jedne strany, ta druha bude potom trivialni diky komutativite, kterou ta nase struktura zdedi, protoze to je podmnozina komutativni grupy. Nezapomente zduvodnit, ze ta inverze je kladne cislo

Kondr · 16. 05. 2008 13:58

Pokud ukazujeme, že nějaká podmonožina grupy je grupa, pak stačí ukázat, že s každými dvěma prvky v ní leží i jejich součin a s každým prvkem v ní leží i jeho inverze. První vlastnost je splněna zřejmě, co se týče druhé -- inverze k a+b*sqrt(2) se prostě zapíše jako 1/(a+b*sqrt(2)) a po rozšíření a-b*sqrt(2) dostáváme, že výsledek leží v naší množině.

robert.marik · 16. 05. 2008 14:11

↑ Kondr:
to je pravda, taky staci dokazat ze soucin a*b^(-1) lezi v nasi mnozine.

nula v nasi mnozine neni. je to v tom zadani napsane (kladna cisla)

informatik · 16. 05. 2008 14:21

děkuji všem..už je mi to jasné, věděl jsem teoreticky co mám dělat ale nevěděl jsem jak to zapsat.díky

Kondr · 16. 05. 2008 15:42

↑ robert.marik:Díky za upozornění, to jsem zase něco zeslonil.

informatik · 16. 05. 2008 18:53

↑ Kondr:

a co tohle zadání?

Najďete množinu reálných čísel takovou, že tato množina vybavená operací
$a \oplus b = a + b + ab$
tvoří grupu

Díky

Kondr · 16. 05. 2008 19:30

↑ informatik:
Všimneme si, že
$a \oplus b +1= (a + 1)\cdot (b + 1)$
Proto f(x)=x+1 je homomorfizmus mezi naší grupou a $(\mathbb{R},\cdot)$ .
Proto pokud je $(M,\cdot)$ grupa, kde $M\in\mathbb{R}$ a $\cdot$ je násobení reálných čísel, pak
$(\{m-1|m\in M\},\oplus)$ je grupa.

informatik · 16. 05. 2008 21:18

↑ Kondr:

Děkuji, a co když by to třeba nešlo rozložit na ten součin např.
$a \oplus b = a + b + 2ab$
nebo
$a \oplus b = a + b +\frac{1}{2}ab$

Lishaak · 16. 05. 2008 22:05

Reseni, ktere na to jde jaksi primo za nosem jsem napsal zde. Jinak vrele doporucuju neposilat stejny priklad na vice mist, nebo, pokud neni vyhnuti alespon na predchozi vyskyt prikladu vlozit odkaz.

Kondr · 16. 05. 2008 23:25

Pro libovolné k lze vztah
$a \oplus_k b = a + b + kab$
přepsat do podoby
$k(a \oplus_k b)+1 = (ka+1)\cdot(kb+1)$ ,
Proto pokud je $(M,\cdot)$ grupa, kde $M\in\mathbb{R}$ a $\cdot$ je násobení reálných čísel, pak
$(\{\frac{m-1}k|m\in M\},\oplus_k)$ je grupa.

Hledání takových homomorfismů může usnadnit práci, ale Lishaakův postup funguje naprosto obecně.

Matematické Fórum

#1 16. 05. 2008 09:55

Grupy

#2 16. 05. 2008 12:46 — Editoval xificurC (16. 05. 2008 12:48)

Re: Grupy

#3 16. 05. 2008 13:01

Re: Grupy

#4 16. 05. 2008 13:58

Re: Grupy

#5 16. 05. 2008 14:11

Re: Grupy

#6 16. 05. 2008 14:21

Re: Grupy

#7 16. 05. 2008 15:42

Re: Grupy

#8 16. 05. 2008 18:53

Re: Grupy

#9 16. 05. 2008 19:30

Re: Grupy

#10 16. 05. 2008 21:18

Re: Grupy

#11 16. 05. 2008 22:05

Re: Grupy

#12 16. 05. 2008 23:25

Re: Grupy

Zápatí