Matematické Fórum

mckvak · 06. 02. 2011 19:18

dokažte že vynásobení matice reálným nenulovým číslem nezmění lin obal řádkových vektorů

Oxyd · 06. 02. 2011 19:30

Přidej svůj pokus o řešení.

claudia

Stačí zapsat si uvažovaný vektor z obalu obecně jako lineární kombinaci "starých" vektorů a pak uvážit vztah mezi "starými" a "novými" vektory a pak oba poznatky spojit. (Omlouvám se, neumím vzdorovat přímému rozkazu :-)

mckvak · 06. 02. 2011 19:46

Právě že toto zadání nechápu proto bych byl hodně rád kdyby byl někdo ochotný a ukázal mi ten důkaz

claudia · 06. 02. 2011 19:48

Tak zkus, co píšu. Jak se zapíše vektor jako lineární kombinace jiných vektorů? (Lze najít v libovolných skriptech.)

mckvak · 06. 02. 2011 19:51

dík za ochotu dnes jsem udělal už 18 důkazů a potřebuju ještě dva k zápočtu (tenhle a ten druhej)

claudia

Gratuluji :-)

Ty dva důkazy jsou skoro stejné. Tak když se ti nechce interagovat, tak já napíši jeden a ty z něj snadno odvodíš druhý.

Nechť $A=\left{a_1, \ldots, a_n\right}$ jsou řádkové vektory uvažované matice.

Řádkové vektory matice vynásobené skalárem $s$ označíme $B=\left{b_1, \ldots, b_n\right}$ . Zjevně bude platit vztah $\forall i \in \left{1, \ldots, n\right}:\ s\cdot a_i = b_i$ (triviálně ověřitelné z definice násobení matic skalárem). Pak ovšem též $\forall i \in \left{1, \ldots, n\right}:\ a_i = s^{-1}\cdot b_i$ .

Libovolný vektor náleží do lineárního obalu skupiny vektorů právě tehdy, když je jejich linéární kombinací.

$u \in \left<A \right> \Leftrightarrow u = \sum_{i=1}^{n} r_i\cdot a_i \Leftrightarrow u = \sum_{i=1}^{n} r_i\cdot \left(s^{-1}\cdot b_i\right) \Leftrightarrow u = \sum_{i=1}^{n} \left( r_i\cdot s^{-1}\right)\cdot b_i \Leftrightarrow u \in \left<B \right>$ .

Přímo jsme tedy dokázali $u \in \left<A \right> \Leftrightarrow u \in \left<B \right>$ , což z definice znamená $\left<A \right> = \left<B \right>$ .

Čtvereček.