Matematické Fórum

Logona · 28. 02. 2011 14:09

Ahoj, mohl by mi někdo, prosím poradit, jak vypočítat tyto dva příklady? Vůbec nevím jak na ně...

1. Pro jaké x je v rozvoji pátý člen roven 105? (1/2*druhá odmocnina z x - 1/2) to celé na desátou

2. V rozvoji výrazu urči prostý člen. (2xnadruhou - 3/x) to celé na šestou

Chápu binomickou větu i binomický rozvoj, ale na tyto dva příklady nemohu přijít...ráda bych zjistila, kde je zakopaný pes...
Byla bych ráda, pokud by mi s tím někdo pomohl :o). Díky...

Dana1 · 28. 02. 2011 14:20 — Editoval Dana1 (28. 02. 2011 14:44)

↑ Logona:

Z binomickej vety napíšeš predpis, ktorý sa týka piateho člena v rozvoji (a + b)^10

210* a^6*b^4 , ak som sa nepomýlila - tento piaty člen dáš rovný 105 (samozrejme po dosadení Tvojho a a Tvojho b.

Oxyd · 28. 02. 2011 14:29 — Editoval Oxyd (28. 02. 2011 14:55)

1) Pátý člen binomického rozvoje $\left( \frac{1}{2} \sqrt{x} - \frac{1}{2} \right)^{10} = \sum_{i=0}^{10} \binom{10}{i} \left( \frac{1}{2} \sqrt{x} \right)^i \left( \frac{-1}{2} \right)^{10 - i}$ je $\binom{10}{4} \left( \frac{1}{2} \sqrt{x} \right)^4 \left( \frac{-1}{2} \right)^6$ (ten rozvoj je od nuly -- proto pátý člen je ten, který má i = 4). Řešíš tedy rovnici $\binom{10}{4} \left( \frac{1}{2} \sqrt{x} \right)^4 \left( \frac{-1}{2} \right)^6 = 105$ .

2) Prostým členem se zřejmě myslí ten, který „nemá“ x (neboli je v něm $x^0$ ). Když si napíšeš ten binomický rozvoj, tak v něm bude něco jako $\left( 2x^2 \right)^i$ -- zajímá tě, pro které i tenhle člen „vypadne“ (nezůstane tam po něm žádné x). Když budeš mít tohle i, tak si prostě spočítáš ten sčítanec pro i.

Zkus to nějak vyřešit sama. Když to nepůjde, ukaž nám své řešení, abychom věděli, s čím napovídat.

Dana1 · 28. 02. 2011 14:33 — Editoval Dana1 (28. 02. 2011 14:41)

↑ Oxyd:

Oxyd, nemá byť ten exponenet 6 pri 1/2odmocniny a exponent 4 pri tom druhom? exponenty klesajú pri 1. člene od 10

binomická veta

Oxyd · 28. 02. 2011 14:48 — Editoval Oxyd (28. 02. 2011 14:54)

↑ Dana1:

To je jedno. Jeden stoupá, druhý klesá -- ale je jedno, tkerý je který. Protože $\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} a^i b^{n-i} = (a + b)^n = (b + a)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} b^i a^{n - i} = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} a^{n - i} b^i$ .

Edit: Ovšem zcela trapně jsem ve všech binomických rozvojích zapomněl na binomické koeficienty...

Dana1 · 28. 02. 2011 14:55 — Editoval Dana1 (28. 02. 2011 15:03)

↑ Oxyd:

No neviem, hádať sa nebudem, ale ja si to nemyslím, ten Tvoj je piaty sprava ...

Mne vyšlo x (ak som sa nepomýlila):

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Oxyd · 28. 02. 2011 15:03

↑ Dana1:

To je ovšem pravda... Ten rozvoj sice bude stejný, ať v něm „stoupá“ první nebo druhý činitel, ale sčítance budou v jiném pořadí.

Asi snad bude nejrozumnější počkat, až se tu objeví tazatelka a řekne nám, jaké pořadí se používá u nich.

Honzc · 01. 03. 2011 06:10

↑ Oxyd:
V každém "slušném" binomickém rozvoji první klesá, druhý stoupá. Tedy počítáme zleva doprava.

Logona · 01. 03. 2011 10:24

Ahoj, omlouvám se, že se ozývám až teď.
Já to zadání u prvního příkladu zapsala špatně má to být 1/2krátdruháodmocinazx to celé na šestou...
Bohužel jsem to špatně zapsala. Jinak s tímto zápisem binomického rozvoje, kde se objevuje i se setkávám poprvé, nepoužívali jsme ho takto zapsaný...
Můj zápis vypadal takto:
105 = (n nad k)*(1/2krátdruháodmocninazx)to celé na šestou * (-1/2)to celé na čtvrtou

Dana1 · 01. 03. 2011 10:27

↑ Logona:

Myslím, že to je takto dobre...

Logona · 01. 03. 2011 11:24

Výsledek u prvního příkladu by měl vyjít 1/8 a u druhého 4860.

Logona · 01. 03. 2011 11:32

Myslím, že mám problémy s mocninami nebo zkrátka někde dělám chybu ve výpočtu, protože neustále mi vychází moc velké zlomky. Např. -1/525 u prvního příkladu...

Logona · 01. 03. 2011 11:44

Tak k výsledku u prvního příkladu jsem se nakonec dopracovala, vyšel mi skutečně 1/8 ;o)

Dana1 · 01. 03. 2011 13:02 — Editoval Dana1 (01. 03. 2011 13:15)

↑ Logona:

Ten druhý máš?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Honzc · 01. 03. 2011 13:17

↑ Logona:
Př. 2. Co třeba takto:
pč=15*2^2*3^4=4860

Logona · 01. 03. 2011 13:37

Aha, tak děkuji, další příklady už zvládnu sama :o)
Děkuji moc za spolupráci, moc mi to pomohlo :o)

Rumburak · 01. 03. 2011 13:52

↑ Dana1:, ↑ Honzc:
Úlohy tytu "urči k-tý člen binomického rozvoje (a + b)^n" potřebují definici, který ze členů se považuje za "k-tý", jinak jsou nesmyslné, neboť
pro sčítání platí komutativní zákon a je tedy lhostejné, v jakém pořadí členy binomického rozvoje napíšeme.

Zná někdo takovou definici ?

Dana1 · 01. 03. 2011 14:16 — Editoval Dana1 (01. 03. 2011 14:23)

↑ Rumburak:

Myslím, že určenie k - teho člena sa berie "intuitívne" a mechanicky, tak ako je binóm v zadaní, poradie zľava doprava.

V živote som sa nestretla s iným poňatím, preto, pokiaľ ide o mňa, ho hlásam aj tu.
Domnievam sa, že sa pri definícii rozvoja pri výklade na SŠ spomenie, že sa poradie myslí tak, ako som uviedla.

Momentálne filozofické úvahy o určovaní poradia členov v binomickom rozvoji nie sú pre mňa v oblasti záujmu, sorry.
Vo všeobecnosti súhlasím s Tvojím tvrdením, ale ani ako (kedysi dosť výbojnú) žiačku by ma nenapadlo okolo tejto témy nejako mohutne diskutovať, lebo si myslím, že tá všeobecná dohoda existuje (už niekde pri výklade).
Je to ako klesajúca a rastúca funkcia, či schodište ide "dolu" alebo "hore", či na pohyblivých schodoch idem alebo stojím a pod. Proste istého druhu dohoda.

A je to trochu ako keď pri sčitovaní zlomkov neuvádzame neustále, že tie zlomky označujú časti rovnakých celkov, proste sa to "niekde za tým" očakáva, že to žiaci vedia, že sa to kedysi vysvetlilo (...). Tie bodky sú môj scenzurovaný komentár.

Napríklad tu, úloha 1 a následne úloha 4.

jelena · 01. 03. 2011 14:27

↑ Rumburak:, ↑ Dana1:

Zdravím vás,

přesně k této problematice vyjádřil kolega Zbynek (musixx). Jediné, co mohu doplnit, že mi poznámky a působení kolegy musixx velmi chybí.

Rumburak

↑ Dana1:
Pokud jde o pojmy jako "klesající funkce", tak na to v každé slušnější učebnici matematiky zabývající se tímto pojmem existuje číslovaná definice.

Zda schodiště jde dolů nebo nahorů, to není matematická otázka. V korektní matematické teorii ale jsou pouze dva druhy pojmů:

- primitivní pojmy, které jsou dány výčtem a jejichž vlastnosti a vzájemné vztahy jsou popsány axiomy, např. v klasicky budované eukleidovské
geometrii jsou takovými pojmy "bod", "přímka", "rovina", "vzdálenost bodů", ..., ve většině mat. teorií je primitivním pojmem též "množina"
a predikát "patřit do možiny". (Záleží samozřejmě na tom, jakým způsobem je teorie budována, dvě různé axiomatické soustavy mohou vést
k ekvivalentním výsledkům a nelze vždy říci, která z obou cest je ta lepší, takže obě pak v matematice "žijí" vedle sebe.)

- pojmy odozené z primitivních (v rámci dané teorie) prostřednictvím nějaké definice, např. v geometrii roviny: "kružnicí se středem v bodě S
a poloměrem R > 0 nazýváme množinu všech takových bodů, jejich vzdálenost od bodu S je rovna R".

Matematika je tímto způsobem budována právě proto, aby se nestávalo, že vlivem rozdílné intuice různých osob dostaneme v jedné teorii
o jednom pojmu různé výsledky. I v tomto vlákně jsme na tento problém narazili u k-tého členu binomického rozvoje, právě proto, že chybí
definice příslušného pojmů. Ale je možné, že k-tý člen binomického rozvoje někde definován je, a jenom já a možná i pár dalších o tom nevíme -
pak by bylo všechno v pořádku. :-)

Rumburak · 01. 03. 2011 15:04

↑ jelena:
Zdravím, Jeleno, a děkuji za doplnění. Kolega musixx dobře ví, o čem matematika je :-)

jelena · 01. 03. 2011 15:19

↑ Rumburak:

Děkuji, Ty to víš lépe. Teď zbývá domyslet, jak zajistit, aby kolega musixx se objevil. To je ovšem velmi OT a patří jinám.

Ukončuji OT a měj se hezky.

Dana1 · 01. 03. 2011 16:36 — Editoval Dana1 (01. 03. 2011 16:42)

↑ jelena:↑ Rumburak:

Ok.

Myslela som, že v tom odkaze to je... podľa mňa k-ty člen binomického rozvoja (A+B)^n. Keď to nestačí, čo sa dá robiť.

Rumburak

↑ Dana1:
Pokud by na patřičném místě v učebnici BYLO UVEDENO, že k-tým členem (k = 1,2, ...) binomického rozvoje ZAPSANÉHO VE TVARU

$(a + b)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} a^{n-i} b^i$

je míněn člen $\binom{n}{k-1} a^{n-k+1}b^{k-1}$ , pak by to samořejmě bylo v pořádku.

Ani matematika se neobejde bez "byrokracie" :-). Matematická byrokracie oproti té hospodářsko-správní má naštěstí velmi
jednoduché zásady, které se navíc nemění.

zdenek1 · 03. 03. 2011 11:19

↑ Rumburak:
Jen doplněk:

Je to z "Matematika v kostce"

Matematické Fórum

#1 28. 02. 2011 14:09

Binomická věta

#2 28. 02. 2011 14:20 — Editoval Dana1 (28. 02. 2011 14:44)

Re: Binomická věta

#3 28. 02. 2011 14:29 — Editoval Oxyd (28. 02. 2011 14:55)

Re: Binomická věta

#4 28. 02. 2011 14:33 — Editoval Dana1 (28. 02. 2011 14:41)

Re: Binomická věta

#5 28. 02. 2011 14:48 — Editoval Oxyd (28. 02. 2011 14:54)

Re: Binomická věta

#6 28. 02. 2011 14:55 — Editoval Dana1 (28. 02. 2011 15:03)

Re: Binomická věta

#7 28. 02. 2011 15:03

Re: Binomická věta

#8 01. 03. 2011 06:10

Re: Binomická věta

#9 01. 03. 2011 10:24

Re: Binomická věta

#10 01. 03. 2011 10:27

Re: Binomická věta

#11 01. 03. 2011 11:24

Re: Binomická věta

#12 01. 03. 2011 11:32

Re: Binomická věta

#13 01. 03. 2011 11:44

Re: Binomická věta

#14 01. 03. 2011 13:02 — Editoval Dana1 (01. 03. 2011 13:15)

Re: Binomická věta

#15 01. 03. 2011 13:17

Re: Binomická věta

#16 01. 03. 2011 13:37

Re: Binomická věta

#17 01. 03. 2011 13:52

Re: Binomická věta

#18 01. 03. 2011 14:16 — Editoval Dana1 (01. 03. 2011 14:23)

Re: Binomická věta

#19 01. 03. 2011 14:27

Re: Binomická věta

#20 01. 03. 2011 14:57 — Editoval Rumburak (01. 03. 2011 16:43)

Re: Binomická věta

#21 01. 03. 2011 15:04

Re: Binomická věta

#22 01. 03. 2011 15:19

Re: Binomická věta

#23 01. 03. 2011 16:36 — Editoval Dana1 (01. 03. 2011 16:42)

Re: Binomická věta

#24 01. 03. 2011 17:11 — Editoval Rumburak (01. 03. 2011 17:15)

Re: Binomická věta

#25 03. 03. 2011 11:19

Re: Binomická věta

Zápatí