Matematické Fórum

Butkic · 23. 05. 2008 16:52

Zdravím,

mám problém vypočítat tento určitý integrál

x/(x^4+1)

meze od 0 do 1.

- bylo mi porazeno že by to měl být rozklad na praciální zlomky. Jenže mi to jaksi nevychází.
http://old.mendelu.cz/~marik/maw/index. … m=integral
dle tohoto webu mi to rozloží na 2 zlomky ale maximálně šílené :-( opravdu už si s tím nevím rady. Mohl byste mi někdo říct postup jak na to? moc díky

můj postup: http://img398.imageshack.us/my.php?imag … 282rl2.jpg

Marian · 23. 05. 2008 16:57

$\int\frac{x}{x^4+1}\,\mathrm{d}x=\int\frac{x}{(x^2)^2+1}\,\mathrm{d}x.$

Uzij substitucni metodu (t=x^2) a spocitej, ze

$\int\frac{x}{x^4+1}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\arctan (x^2)+C.$

Dale uz snadno ....

Butkic · 23. 05. 2008 17:22

Hezky, tohle je fakt jednodušší :-) dík moc.

robert.marik · 23. 05. 2008 18:17

↑ Butkic:
tahle to radila pani ucitelka?? to urcite ne, protoze realna cisla B a C s pozadovanou vlasntosti zcela urcite neexistuji!! A secteni tech zlomku z "rozkladu" nedava a nemuze davat puvodni funkci. Takze bud zkomolena nebo nepochopena rada, nebo to je dost ulet .......

jinak ten web na mendelu standartne pro racionalni funkce radi parcialni zlomky (pripadne deleni) ale v tomto pripade je Marianova substituce to jedine logicke reseni.
zkousel jsem jak si s tim poradi Maple na adrese http://cgi.math.muni.cz/%7Exsrot/int/integral.cgi a taky je to dost kostrbate. Na lidsky duvtip proste stroje nikdy mit nebudou :)

Butkic · 23. 05. 2008 18:38

↑ robert.marik:
no poradila mi to takto, dokonce mi to i napsala takhle, ale to už je teď jedno.

Marian · 23. 05. 2008 21:50

↑ Butkic:

Tak to te pani ucitelka chtela asi potrapit. Ale rozklad na parcialni zlomky je presto mozny. Staci si totiz uvedomit, jak rozlozit clen x^4+1:

$x^4+1=(x^4+2x^2+1)-2x^2=(x^2+1)^2-(\sqrt{2}x)^2=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1).$

Proto

$\frac{x}{x^4+1}=\frac{x}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}=\frac{\alpha x+\beta}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{\gamma x+\delta}{x^2-\sqrt{2}x+1}.$

Ale tento postup neni prilis efektivni.

Matematické Fórum

#1 23. 05. 2008 16:52

určitý integrál - (asi) rozklad na parciální zlomky

#2 23. 05. 2008 16:57

Re: určitý integrál - (asi) rozklad na parciální zlomky

#3 23. 05. 2008 17:22

Re: určitý integrál - (asi) rozklad na parciální zlomky

#4 23. 05. 2008 18:17

Re: určitý integrál - (asi) rozklad na parciální zlomky

#5 23. 05. 2008 18:38

Re: určitý integrál - (asi) rozklad na parciální zlomky

#6 23. 05. 2008 21:50

Re: určitý integrál - (asi) rozklad na parciální zlomky

Zápatí