Matematické Fórum

Rufus · 12. 03. 2011 13:39

$\int\frac{x^4 + 6x^2 + x - 2} {x^4-2x^3}dx = \int\frac{x^4 + 6x^2 + x - 2} {x^3 (x-2)}dx$

Co mám ted udělat?

Šlo by to Horneovým schématem?

Olin · 12. 03. 2011 13:51

Rozložit na parciální zlomky.

Rufus · 12. 03. 2011 17:18

↑ Olin:
parciální zlomky mně moc nejdou, jak sa to dělá prosím?

claudia

To je na dvě hodiny vysvětlování. Asi nezbyde, než si nastudovat sám: http://www.mojeskola.cz/Vyuka/Php/Learn … rokem9.php (či Google :-) Je to nicméně zcela mechanická činnost, na které se nedá nic zkazit. Stačí postupovat dle návodu.

Pokud bys měl nějakou konkrétní nejasnost, samozřejmě se ptej.

Rufus · 12. 03. 2011 19:56 — Editoval Rufus (12. 03. 2011 19:56)

možu to rozložit takto?

$\frac {A} {x} + \frac {B} {x^2} + \frac {C} {x^3} + \frac {D} {x-2}$

claudia · 12. 03. 2011 19:59

Ano, ale neprve polynomy částečně vydělit, aby ten v čitateli měl menší stupeň.

Rufus · 12. 03. 2011 20:09 — Editoval Rufus (12. 03. 2011 20:13)

↑ claudia:
takto myslíš?
$\frac {A} {x} + \frac {B} {x^2} + \frac {C} {x^3} + \frac {D} {x-2} | x^3 (x-2) = Ax^2 (x-2) + Bx(x-2)+C(x-2)+Dx^3$

nebo myslíš už rovnou na začátku?

$\int\frac{x^4 + 6x^2 + x - 2} {x^4-2x^3}dx =$

claudia · 12. 03. 2011 20:14

To je roznásobení :-) Myslím :-) Nevím, co tam znamená ta svislá čára. Je to psáno jazykem, kterému nerozumím :-) Pod pojmem dělení si typicky představuji:

$\frac{x^4 + 6x^2 + x - 2} {x^3 (x-2)} = 1 + \frac{ax^3 + bx^2 + cx + d} {x^3 (x-2)}$

A teprve ten druhý zlomek rozkládat na parciální.

Rufus · 12. 03. 2011 20:24

↑ claudia:
nejsu vubec v obraze jak si dostala tento výraz $1 + \frac{ax^3 + bx^2 + cx + d} {x^3 (x-2)}$ napsala bys mně to trošku polopaticky prosím ;)

claudia · 12. 03. 2011 20:39

Tím jsem naznačovala, v jakém tvaru bude výraz po dělení. Přesný výsledek je: http://jdem.cz/kxum3

Rufus · 12. 03. 2011 20:59

↑ claudia:
opravdu netuším. Nejlepší by bylo dyby si to rozepsala krok po kroku, tam bych už neco viděl. Záleží jestli se ti to bude chtět psat:)

claudia · 12. 03. 2011 21:27

Shodou okolností jsem princip dělení polynomů dnes již jednou vysvětlovala :-)

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=28152

Více k tomu už asi sama nevím.

Rufus · 12. 03. 2011 21:36

↑ claudia:
Děkuju projdu si to.

Rufus · 12. 03. 2011 22:36 — Editoval Rufus (12. 03. 2011 22:39)

↑ claudia:
Děkuju,co si mně poslala tu stránku,tak mně to pomohlo.

$(x^4 + 6x^2 + x - 2):(x^4-2x^3) = 1+ \frac {2x^3 +6x^2 + x -2} {x^4 - 2x^3}$

$- (x^4 - 2x^3) +6x^2 + x -2$

Akorát mě tam zmátli zanménka u toho $+6x^2 + x -2$ napsal sem to původně takto $- (x^4 - 2x^3 +6x^2 + x -2)$ ale to bude asi špatně vysledek by byl totiž takto $1+ \frac {2x^3 -6x^2 - x +2} {x^4 - 2x^3}$

claudia · 13. 03. 2011 00:52

Nerozumím zcela tomu, co píšeš. Zdá se mi, že v tom máš možná ještě drobné nejasnosti. Zkoušej si to na jednoduchých polynomech nízkých řádů a pak se pomalu pouštěj do složitějších. Kontrola je snadná - převedením zpět na společného jmenovatele.

Pro rozklad na parciální zlomky je důležitý poznatek, že zbytek po dělení čitatele jmenovatelem je polynom nižšího stupně než jmenovatel. Kdyby byl stejého či vyššího, tak bys onu vzniklou soustavu rovnic nemohl vyřešit, protože na straně rovnice, na kterou si napíšeš ty parciální zlomky, po roznásobení dostaneš polynom stupně o jedna nižšího než je stupeň jmenovatele. Kdybys tedy na druhé straně měl polynom stupně vyššího, nikdy si nemohou být rovny a rovnice nebude mít řešení. Pokud je to nejasné takto abstraktně, zkus si ten rozklad bez toho vydělení a hned ti bude jasné, o čem mluvím.

Rufus · 13. 03. 2011 11:43 — Editoval Rufus (13. 03. 2011 11:45)

↑ claudia:
prostě, když sem zpět násobil tou 1čkou jmenovatele, tak sem dostal x^4 - 2x^3 a ten zybtek 6x^2+x-2 sem opsal původně rovnou do závorky takto: $- (x^4 - 2x^3 +6x^2 + x -2)$ tudíž by se změnili zanménka,protože před závorkou je -. Ale mosí se to zapsat takto: $- (x^4 - 2x^3) +6x^2 + x -2$

Doufám že ted už sem to neak líp vysvětlil :)

Inak zpátky k příkladu.

$1 + \frac{2x^3 + 6x^2 +x -2} {x^3 (x-2)}$ a ted si to rozdělím na ty par.zlomky? takto?

$\frac {A} {x} + \frac {B} {x^2} + \frac {C} {x^3} + \frac {D} {x-2}$ ? A ted budu pomocí srovnávací metody zjištovat A,B,C,D ?

claudia

↑ Rufus:

No, pokud to myslíš takto, slušelo by se napsat: $\text{čitatel po dělení} = - (x^4 - 2x^3) + x^4 + 6x^2 + x -2 = 2x^3 + 6x^2 + x -2$ .

"Srovnávací metodu" neznám, já nejsem moc na zaklínadla. Ale položíš mezi ně rovnost a roznásobíš:

$\frac{2x^3 + 6x^2 +x -2} {x^3 (x-2)} = \frac {A} {x} + \frac {B} {x^2} + \frac {C} {x^3} + \frac {D} {x-2} \Bigg/\cdot x^3 (x-2)$

Rufus · 13. 03. 2011 13:06 — Editoval Rufus (13. 03. 2011 13:07)

↑ claudia:
přesně toto sem myslel $\frac{2x^3 + 6x^2 +x -2} {x^3 (x-2)} = \frac {A} {x} + \frac {B} {x^2} + \frac {C} {x^3} + \frac {D} {x-2} \Bigg/\cdot x^3 (x-2)$ a ted:

$2x^3 + 6x^2 +x -2 = Ax^2(x-2) + Bx (x-2) +C (x-2) + Dx3$ a včil dosadím? např za x=0,x=2 atd. až zjistím příslušné hodnoty A,B,C,D?

claudia

To by mě zajímalo, co se skrývá za tím "atd." ve větě "např za x=0,x=2 atd." :-) (Samozřejmě v principu je to dobrá myšlenka.)

Rufus · 13. 03. 2011 14:00

↑ claudia:
atd znm, dosazovat čísla do té doby, než zjistím hodnoty A,B,C,D ;)

$2x^3 + 6x^2 +x -2 = Ax^2(x-2) + Bx (x-2) +C (x-2) + Dx3$

$x=2: 40 = 0+0+0 +8D => D=5$
$x=0 -2=-2C => C=1$
$x=1 7= -A-B-C+D => 7= -A-B-1+5 => 3 = -A-B$
$x=-1 1= +3A+3B-3C-D => 9= +3A +3B |:3 => 3 = +A+B$

jak zjistím A,B?

claudia

↑ Rufus:

To není výpočet, to je střelba poslepu! :-) Ano, dosazení 0 a 2 vcelku dobře funguje, protože to jsou kořeny jmenovatele, ale žádné další kořeny ten jmenovatel nemá (proto jsem se ptala, co je "atd."). Svým postupem získáš informaci o C a D, která ti výpočet usnadní, ale dále je vhodné postupovat standardně. Např. dosazením těchto dvou poznatků do původní rovnice:

$2x^3 + 6x^2 +x -2 &= Ax^2(x-2) + Bx (x-2) +C (x-2) + Dx3\Bigg/C=1,\;D=5 \\ 2x^3 + 6x^2 +x -2 &= Ax^2(x-2) + Bx (x-2) +1\cdot(x-2) + 5\cdot x3$

V takové chvíli doporučuji pravou stranu rovnice roznásobit, napsat si všechna x ve stejné mocnině vedle sebe a nakonec je vytknout.

Rufus · 14. 03. 2011 20:13

↑ claudia:
dobré díky moc, už mně to vyšlo.

Matematické Fórum

#1 12. 03. 2011 13:39

integrál polynomy

#2 12. 03. 2011 13:51

Re: integrál polynomy

#3 12. 03. 2011 17:18

Re: integrál polynomy

#4 12. 03. 2011 17:31 — Editoval claudia (12. 03. 2011 17:32)

Re: integrál polynomy

#5 12. 03. 2011 19:56 — Editoval Rufus (12. 03. 2011 19:56)

Re: integrál polynomy

#6 12. 03. 2011 19:59

Re: integrál polynomy

#7 12. 03. 2011 20:09 — Editoval Rufus (12. 03. 2011 20:13)

Re: integrál polynomy

#8 12. 03. 2011 20:14

Re: integrál polynomy

#9 12. 03. 2011 20:24

Re: integrál polynomy

#10 12. 03. 2011 20:39

Re: integrál polynomy

#11 12. 03. 2011 20:59

Re: integrál polynomy

#12 12. 03. 2011 21:27

Re: integrál polynomy

#13 12. 03. 2011 21:36

Re: integrál polynomy

#14 12. 03. 2011 22:36 — Editoval Rufus (12. 03. 2011 22:39)

Re: integrál polynomy

#15 13. 03. 2011 00:52

Re: integrál polynomy

#16 13. 03. 2011 11:43 — Editoval Rufus (13. 03. 2011 11:45)

Re: integrál polynomy

#17 13. 03. 2011 12:25 — Editoval claudia (13. 03. 2011 12:26)

Re: integrál polynomy

#18 13. 03. 2011 13:06 — Editoval Rufus (13. 03. 2011 13:07)

Re: integrál polynomy

#19 13. 03. 2011 13:39 — Editoval claudia (13. 03. 2011 13:42)

Re: integrál polynomy

#20 13. 03. 2011 14:00

Re: integrál polynomy

#21 13. 03. 2011 15:08 — Editoval claudia (13. 03. 2011 15:09)

Re: integrál polynomy

#22 14. 03. 2011 20:13

Re: integrál polynomy

Zápatí