Matematické Fórum

smejkalek · 28. 03. 2011 20:52

Dokonalé ohwbné leží na desce stolu ma přes jeho okraj převis lo . Urči jak s časem narusta delka previsu části lana, když celková délka lana je l a tření lana o desku zanedbáme. dokonalé ohebné leží na desce stolu ma přes jeho okraj převis lo . Urči jak s časem narusta delka previsu části lana, když celková délka lana je l a tření lana o desku zanedbáme.

Jedná se o ukol znám i výsledek, ale nemohu se ho dopracovat poradí někdo ?

zdenek1 · 29. 03. 2011 17:33

↑ smejkalek:

V okamžiku, kdy lano přečnívá o délku $x$ je pohybová rovnice
$l\tau \ddot{x}=x\tau g$ , kde $\tau$ je délková hustota.
$\ddot{x}=\frac gl x$ rovnici vynásobíme $\dot{x}$ a využijeme identitu $\frac{\text d(\dot{x}^2)}{\text dt}=2\dot{x}\ddot{x}$
$\dot{x}\ddot{x}=\frac gl x\dot{x}$
$\frac{\text d(\dot{x}^2)}{\text dt}=\frac{2g}l x\dot{x}$
$\dot{x}^2=\frac{2g}l \int x\dot{x}\text dt=\frac{2g}l \int x \text dx=\frac{g}l x^2+C$
Z počátečních podmínek: $x=l_0\ \Rightarrow\ \dot{x}=0$ dostaneme $C=-\frac gl l_0^2$
$\dot{x}=\sqrt{\frac gl(x^2-l_0^2)}$
$\frac{\text d x}{\text d t}=\sqrt{\frac gl(x^2-l_0^2)}$
$\int \frac{\text d x}{\sqrt{x^2-l_0^2}}=\sqrt{\frac gl} \int \text d t$
$\text{arccosh}\, \frac x{l_0}=\sqrt{\frac gl} t+K$
Z počátečních podmínek $t=0\ \Rightarrow\ x=l_0$ dostaneme $K=0$
$x=l_0\cosh\left(\sqrt{\frac gl} t\right)$

Matematické Fórum

#1 28. 03. 2011 20:52

Fyzika opotřebení lana

#2 29. 03. 2011 17:33

Re: Fyzika opotřebení lana

Zápatí