Matematické Fórum

drabi · 13. 06. 2011 22:19

ahoj,
vůbec si nevím rady s tímto příkladem..
Pokud by byl někdo ochoten mi věnovat pár minut, budu moc ráda

Stýv · 13. 06. 2011 23:42

taylorův rozvoj znáš?

drabi · 14. 06. 2011 09:22

↑ Stýv:
znám, ale upřímně mi moc není jasné, jak to tam napasovat

Stýv · 14. 06. 2011 10:24

prostě máš udělat taylorův rozvoj f v bodě 0

drabi · 14. 06. 2011 11:41

↑ Stýv:
$f(x) = f(0) + \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

$f(x) = \frac{x}{x^2 - 3x + 2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ ????

jako moc tomu nerozumím, omlouvám se za natvrdlost, ale mohl bys mi to prosím trochu rozepsat?

Stýv · 14. 06. 2011 11:55

vzoreček máš správnej, teď jenom vypočítat derivace f v 0 a dosadit. před výpočtem derivací doporučuju rozložit na parciální zlomky, pak to půjde snáz

drabi · 14. 06. 2011 12:54 — Editoval drabi (14. 06. 2011 13:58)

↑ Stýv:
$f(x) = \frac{x}{x^2 - 3x + 2} = -\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2}$
$f^{(1)}(x) = \frac{1}{(x-1)^2} - \frac{2}{(x-2)^2}$
$f^{(2)}(x) = -\frac{2}{(x-1)^3} + \frac{4}{(x-2)^3}$
.
.
.
$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n+1} n!}{(x-1)^{n+1}} + \frac{2(-1)^{n} n!}{(x-2)^{n+1}}$

potom teda

$f^{(5)}(x) = \frac{5!}{(x-1)^6} - \frac{2 * 5!}{(x-2)^6}$
$f^{(5)}(0) = \frac{5!}{(0-1)^6} - \frac{2 * 5!}{(0-2)^6} = 5! - \frac{2*5!}{2^6}=116.25$
a ta řada je tedy:
$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} n!}{(-1)^{n+1}} - \frac{2(-1)^{n} n!}{(-2)^{n+1}} = \sum_{n=1}^\infty n! - n! \left(\frac{1}{2}\right)^n$

snad už je to dobře
každopádně děkuju mockrát za trpělivost a omlouvám se, že mi to tak trvalo
přeju pěkný den

LukasM · 14. 06. 2011 13:44

↑ drabi:
To ale není dobře. Se vším souhlasím (až na jednu tiskovou chybu, tam co máš 25!), ale poslední řádek je špatně. Především by asi bylo záhodno, aby ta řada obsahovala x. Špatně dosazuješ do toho vzorce co jsi psala o příspěvek dřív. Také tam trochu hapruje jedno znaménko, jestli se nepletu (v tom mezikroku).

Kontrola tady.

drabi · 14. 06. 2011 14:04

↑ LukasM:

jo jasně, trochu jsem se unáhlila

takže má to být takto?
$f(x) = f(0) + \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = 0 + \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n =\sum_{n=1}^\infty \frac{n! - n! \left(\frac{1}{2}\right)^n}{n!} x^n = \sum_{n=1}^\infty \left[1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right] x^n$

ale nevidím, kdeže jsem se to ve znamínku přepsala?

LukasM · 14. 06. 2011 14:10

↑ drabi:
Jo, to už vypadá líp.

Přepsala ses na tom řádku co byl špatně, takže to nemusíš dál řešit. Mezi těmi zlomky měl být plus, viz. ten odvozený vztah pro n-tou derivaci.

Matematické Fórum

#1 13. 06. 2011 22:19

rozvoj do řady - Taylor

#2 13. 06. 2011 23:42

Re: rozvoj do řady - Taylor

#3 14. 06. 2011 09:22

Re: rozvoj do řady - Taylor

#4 14. 06. 2011 10:24

Re: rozvoj do řady - Taylor

#5 14. 06. 2011 11:41

Re: rozvoj do řady - Taylor

#6 14. 06. 2011 11:55

Re: rozvoj do řady - Taylor

#7 14. 06. 2011 12:54 — Editoval drabi (14. 06. 2011 13:58)

Re: rozvoj do řady - Taylor

#8 14. 06. 2011 13:44

Re: rozvoj do řady - Taylor

#9 14. 06. 2011 14:04

Re: rozvoj do řady - Taylor

#10 14. 06. 2011 14:10

Re: rozvoj do řady - Taylor

Zápatí