Matematické Fórum

drabi · 28. 06. 2011 09:37

ahoj,
v tomto příkladě mám dokázat, zda řada konverguje/ absolutně konverguje

$\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos{n} \arctan{n}}{n \ln{(n + 1)}}$

neabsolutní konvergenci jsem dokázala přes Abela a Dirichleta, ale bohužel si nevím rady s absolutní konvergencí
Tak nějak tuším, že to konverguje pouze neabsolutně, ale nevím, jak to z toho dostat
budu moc ráda za jakýkoliv hint
díky

Marian · 29. 06. 2011 07:09 — Editoval Marian (29. 06. 2011 07:17)

↑ drabi:

Souhlasím s tím, že řada konverguje (funguje obojí, jak Abelovo, tak Dirichletovo kriterium). U basolutní konvergence to je o něco méně snadné, protože argumenty používané u Dirichletova nebo Abelova kriteria nelze aplikovat.

Důkaz faktu, že daná řada absolutně nekonverguje, by mohl vycházet z toho, že dokážeme konvergenci řady

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos (2n)\arctan (n)}{n\cdot\ln (n+1)}.$

Důkaz se ale neliší od důkazu konvergence původní řady. Lze tedy přijmout tento fakt za platný. Dále využijeme trigonometrické identity

$\cos ^2(n)=\frac{1}{2}\cdot (1+\cos (2n))$

platné dokonce pro každé reálné číslo $n$ . V dalším kroku vyjdeme z nekonečné číselné řady

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos ^2(n)\cdot\arctan (n)}{n\cdot\ln (n+1)}.$

Platí totiž

Tento zápis má smysl, neboť obě dvě nekonečné řady na konci mají určitý charakter - první z nich diverguje k $+\infty$ , zatímco druhá je konvergentní. Odtud tudíž plyne také divergence nekonečné řady

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos ^2(n)\cdot\arctan (n)}{n\cdot\ln (n+1)}.$

V dalším kroku využiju platnost nerovnosti $\cos ^2(n)\le |\cos (n)|$ , $n\in\mathbb{R}$ . Platí potom odhad

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos ^2(n)\arctan (n)}{n\cdot\ln (n+1)}\le\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\cos (n)|\cdot\arctan (n)}{n\cdot\ln (n+1)}.$

Protože řada vlevo v tomto odhadu diverguje k $+\infty$ , bude divergovat i řada vpravo k $+\infty$ . Proto předložená řada ve tvém zadání nekonverguje absolutně, tj, konverguje pouze relativně.

Matematické Fórum

#1 28. 06. 2011 09:37

absolutní konvergence

#2 29. 06. 2011 07:09 — Editoval Marian (29. 06. 2011 07:17)

Re: absolutní konvergence

Zápatí