Matematické Fórum

etchie · 07. 06. 2011 07:43

potrebujem poradit ako derivovat tento vyraz $x^{x^2+1}$
vysledok poznam ale neviem sa k nemu dopracovat
zacal by som asi takto $x^{x^2+1} => (x^2+1)x^x^2$ , ale dost o tom pochybujem, ze to takto mozem upravit

podotazka: ako sa taketo derivovanie vyrazu spravne zapise ? ja som tam dal $=>$ ale to nijako nehovori o tom, ze ide o derivaciu

Honzc · 07. 06. 2011 08:41 — Editoval Honzc (07. 06. 2011 08:42)

↑ etchie:
Derivace se označuje znakem '
Takovéto derivace je nejlépe řešit pomocí tzv. "logaritmického derivování"
Princip je jednoduchý (ukážu na $y=x^x$ )
Celou rovnici "zlogaritmujeme":
$lny=x\ln{x}$
Potom derivujeme levou i pravou stranu
$\frac{1}{y}y'=\ln{x}+x\frac{1}{x}$
$y'=y(\ln{x}+1)$
$y'=x^x(\ln{x}+1)$

etchie · 07. 06. 2011 17:43

↑ Honzc:
"zlogaritmovaniu" rovnice este rozumiem, ale potom to uz neviem precitat. viem ze apostrof sa pouziva pre oznacenie derivacie, ale nejako mi to dalej nic nehovori.
ako mam chapat alebo citat lavu stranu rovnice $\frac{1}{y}y'$ ?
zistil som si ze $[ln(y)]' = \frac1y$ ale zrazu na tej lavej strane v tvojom priklade je to ypsilon 2 krat. Preco je tam 2x a ako sa to cita ?

anes · 07. 06. 2011 18:27

↑ etchie: pozor na to, podle čeho derivuješ. " ' " značí derivaci podle parametru, u nás x. Takže sice platí $\frac{d}{dy}\ln y = \frac1y$ , ale my derivujeme obě strany podle x a podle pravidel pro derivování složené funkce $\frac{d}{dx}\ln \left( y(x) \right) = \frac1y \frac{dy}{dx} = \frac1y y'$

Jinak mi ale přijde čistší a průhlednější nic nelogaritmovat, jenom si přepsat pravou stranu z definice obecné mocniny a pak už jenom derivovat podle klasických pravidel.
$y = x^{x} = e^{x \ln x}$
$y' = (x \ln x)' e^{x \ln x}$
$y' = (\ln x + 1) e^{x \ln x} = (\ln x + 1) x^{x}$
To už je ale spíš věc vkusu.

etchie · 07. 06. 2011 19:41

↑ anes:

su zapisy $\frac{d}{dy}\ln y$ a $[ln(y)]'$ navzajom ekvivalentne ?

anes · 07. 06. 2011 19:51 — Editoval anes (07. 06. 2011 19:53)

↑ etchie: Doufám, že ses jenom upsal, jinak bych tě musel podezřívat, žes ten můj příspěvek nečetl.
$[ln(y)]'$ je akorát jinak zapsáno $\frac{d}{dx}\ln y$ . (Pokud bys v tom měl mít zmatek, tak ale radši používej zápis $\frac{d}{d neco}$ . Tím určitě nic nezkazíš )

etchie · 07. 06. 2011 20:37

↑ anes:

moja znalost derivacii je takmer nulova, preto sa snazim zachytit coho sa da
cital som prispevok no ked vidim zapisy a rovnice derivacii tak si pripadam ako dlhorocny Windows uzivatel topiaci sa vo svete Linuxu

etchie · 07. 06. 2011 21:30 — Editoval etchie (07. 06. 2011 21:32)

↑ anes:

vobec nerozumiem ako z vyrazu: $lny=x\ln{x}$ vznikol vyraz: $\frac{1}{y}y'=\ln{x}+x\frac{1}{x}$

a tiez ako z $y = x^{x} = e^{x \ln x}$ dostanem $y' = (x \ln x)' e^{x \ln x}$
a z tych dvoch apostrofov v tomto poslednom priklade som uz uplne vedla

v tomto a vo vyssej matematike celkovo trpim uplnou matematickou slepotou, takze sa ospravedlnujem za divne otazky

anes · 07. 06. 2011 22:02

↑ etchie:
Budu derivovat $y = e^{x \ln x}$ .
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( e^{x \ln x} \right) = \frac{d}{dx}(x \ln x) e^{x \ln x}$ ... vzoreček pro derivaci složené funkce + znalost deirvace e^x. Obecne pro nějakou funkci z(x) platí $\frac{d}{dx} \left( e^{z} \right) = \frac{dz}{dx} \cdot \frac{d}{dz} (e^z) = \frac{d}{dx}(z) \cdot e^z$

pokračujeme v úpravách - ve výrazu máme pořád nezderivované x.ln(x)
$\frac{dy}{dx} = \left( \frac{d}{dx}(x) \cdot \ln x + x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) \right) e^{x \ln x}$ ... pravidlo pro derivaci soucinu
$\frac{dy}{dx} = \left( 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac1x \right) e^{x \ln x}$ ... derivace zakladnich funkcí x^n (v tomto případě n=1) a lnx
$\frac{dy}{dx} = \left( \ln x + 1 \right) x^{x}$ ... už jen upravíme do civilizovanějšího tvaru.

Víc to už podle mě rozepsat nejde, takže pokud něco není jasné, tak to asi chce učebnici a začít jednoduššími příklady - v takovém případě jsem snad aspoň poradil, co tam hledat.

etchie · 12. 06. 2011 20:38 — Editoval etchie (12. 06. 2011 20:55)

uz sa viem dopracovat k spravnemu vysledku funkcie $x^{x^2+1}$ aj inych v takomto exponencialnom tvare
napriek tomu mi nie je uplne jasna jedna vec, ku ktorej pri rieseni dochadza

premena pomocou logaritmizacie vyrazu a nasledna premena na tvar $[ln(f(x))]'=[(x^2+1)lnx]'$ sa mi zda jasna
pravu stranu viem derivovat bez problemov a viem, ze na lavu stranu musim pouzit vzorec pre vnorenu funkciu: $[f(g(x))]'=f'(g(x)).g'(x)$

cize na lavej strane to ma vyzerat takto: $ln'(f(x)).f'(x)$ a to mozem dalej upravit na $\frac1{f(x)}f'(x)$

prave premena lavej strany pomocou vzorca pre vnorenu funkciu mi nie je jasna, totiz zapis $[ln(f(x))]'$ a $ln'(f(x))$ sa mi zda ako jedno a to iste (co ale nie je urcite pravda lebo potom by vysledok nevysiel spravne)

co robim nespravne alebo comu nerozumiem ked povazujem toto za rovnost ? $ln'(f(x)) = [ln(f(x))]'$

dakujem za pomoc

skusim to este trochu rozpisat

z lavej strany $[ln(f(x))]'$ by som totiz chcel hned urobit $\frac1{f(x)}$ , teda nepouzit ziadny vzorec na vnorenu funkciu, potom obe strany prenasobit $f(x)$ a na pravej strane by mi sice vysiel spravny vysledok no na lavej strane by ostala uz iba $1$ namiesto $f'(x)$

jelena · 12. 06. 2011 22:59

Zdravím,

tento zápis je v pořádku:

$[f(g(x))]'=f'(g(x)).g'(x)$

$[ln(f(x))]'$ - tento také, ale takový už bys neměl používat: $ln'(f(x))$ .

-----------------------------------------------------------------------------------------
nemyslím, že by to šlo obejit bez "vnořené funkce". Tedy z levé strany $[ln(f(x))]'$ je třeba mít $\frac1{f(x)}f'(x)$ . A vzít to jako fakt.

Jinak tento typ derivací je místní evergreen a byl zpracován takto (děkuji autorům)

Stačí tak pro zorientování? Děkuji.

etchie · 15. 06. 2011 20:43

↑ jelena:

Ahoj,

preco vlastne nemozem pouzit takyto zapis $ln'(f(x))$ ?

snazim sa brat zmenu lavej strany podla vzorca $[f(g(x))]'=f'(g(x)).g'(x)$ ako fakt,
ale zaroven si potrebujem nejako logicky ujasnit, co pri derivovani mozem a co nemozem robit a tiez preco

co mi zabrani napriklad postupovat pri derivovani lavej strany takto:

$[ln(f(x))]'$ <- lava strana
$[ln(f(x))]'.f'(x)$ <- uplatnil som vozrec pre derivaciu vnorenej funkcie

$ln(..)$ pre mna predstavuje vonkajsiu funkciu a teda by som mohol opat pouzit vzorec pre vnorenu funkciu a dostanem: $[ln(f(x))]'.f'(x).f'(x)$
a potom zas pouzijem vzorec pre vnorenu funkciu, a takto pekne v nekonecnej slucke by som mohol derivovat lavu stranu az do konca vesmiru

ja samozrejme vidim, ze takymto derivovanim sa nikam nedostanem, ale povedzme, ze by to robil stroj ?
ako by stroj vedel, ze pre $[ln(f(x))]'$ ma prvy krat postupovat podla vzorca pre vnorenu funkciu, ale druhy krat uz nie a ma pouzit $[ln(x)]'=\frac1x$ ?

dakujem za trpezlivost a pomoc

jelena · 15. 06. 2011 21:33

Zdravím,

moc se mi do takové debaty nechce, ale co už - je to jen o formálním zápisu.

$\ln (..)$ - ln pro mne představuje jen "znak operace", nepředstavuje funkci. Funkce je $f(x)=\ln (x)$ . Derivace funkce je $(f(x))^{\prime}=(\ln (x))^{\prime}$ .

Je použitelný zápis $f^{\prime}(x)=(\ln (x))^{\prime}$ , protože opět řekne "derivujete funkci", ovšem $\ln^{\prime}(x)$ mi řekne "derivujte znak". Znak ovšem derivovat neumíme.

ale povedzme, ze by to robil stroj ?

Stroj to má lepší - stroj nepřemyšlí a dělá to, co do něho vložil člověk. Tedy člověk vloží operace "derivovaní funkce" a pokyny, jak se derivuje funkce složena.

ako by stroj vedel, ze pre $[ln(f(x))]'$ ma prvy krat postupovat podla vzorca pre vnorenu funkciu, ale druhy krat uz nie a ma pouzit $[ln(x)]'=\frac1x$ ?

Protože mu člověk řekne. Dokonce stroj nejdřív derivuje vnější funkci a potom derivuje vnitřní.

Názorné ukázky derivování složených funkcí. Projdí si po odkazech (ten, myslím, chybí).

Upřímně řečeno, mně nejvíce vyhovuji, když umím postup tak dobře, jako stroj a nepřemyšlím (je to zbytečná ztráta času), ale u každého je to jiné.

Asi jsem moc nepomohla, snad někdo jiný bude úspěšnější, pokud ještě budeš mít dotaz. Ať se daří.

hlupačik · 16. 06. 2011 09:52

Skús sa na ten vzorec pre deriváciu zloženej funkcie pozrieť ešte raz a uvidíš, že $[f(g(x))]'$ a $f'(g(x))$ nie je to isté. Teda aj keby sme pripustili možnosť takého zápisu $ln'(f(x))$ , tak $[ln(f(x))]'$ a $ln'(f(x))$ by nebolo to isté.
$[ln(f(x))]'$ by znamenalo: "derivuj podľa premennej x"
$ln'(f(x))$ by znamenalo: "derivuj podľa argumentu funkcie ln, teda derivuj podľa f(x)"

Rumburak

Nebo ještě jinými slovy:

Je-li $f$ funkce jedné proměnné, pak symboly $f'(x)$ , $\left(f(x)\right)'$ jsou ještě rovnocenné, oba značí derivaci funkce $f$ v bodě $x$ .

Když do $f'(x)$ dosasadím $x = g(t)$ , dostanu $f'(g(t))$ a bude to derivace funkce $f$ v bodě $g(t)$ .

Avšak když do $\left(f(x)\right)'$ formálně dosasadím $x = g(t)$ , dostanu $\left(f(g(t))\right)'$ , což ale bude derivace složené funkce
$f\circ g$ v bodě $t$ , tedy něco obecně zcela jiného než prve.

Stručně shrnuto: v $f'(g(t))$ nejprve derivujeme fci $y =f(x)$ a pak dosazujeme $x = g(t)$ , zatímco v $\left(f(g(t))\right)'$ je
derivování a dosazování prováděno v opačném pořadí - napřed se do $f(x)$ dosadí $x = g(t)$ a pak se derivuje - ovšem podle $t$ ,
protože $f(g(t))$ už je funkcí proměnné $t$ .

etchie · 21. 07. 2011 12:42

↑ Rumburak:

ahojte,

tak som sa teda chvilu venoval studiu derivacii a priklad z uvodu by som vyriesil takto:

$&f(x)=x^{x^2+1}\\ &ln(f(x))=(x^2+1)lnx\\ &[ln(f(x))]'=[(x^2+1)lnx]'\\ &ln'(f(x)).f'(x)=(x^2+1)'.lnx + (x^2+1).(lnx)'\\ &\frac1{f(x)}f'(x)=2x.lnx + (x^2+1)\frac1x\\ &f'(x)=x^{x^2+1}(2x.lnx + x + \frac1x)\\ &f'(x)=x^{x^2}(2x^2.lnx + x^2 + 1)$

este si ale potrebujem ujasnit spravnost/nespravnost mojho zapisu v riadku 4 na lavej strane
Jelena v prispevku vyssie pise, ze zapis $ln'(f(x))$ by som nemal pouzivat. Ako teda prejdem z riadku 3 na riadok 4, ked nemam pouzit tento zapis ? Takto mi to celkom pasuje a neviem ako inak to mam zapisat, aby sa znova neopakoval zapis z riadku 3. To by som znova dostal zapis s tou (pre mna) nekonecnou rekurzivnou sluckou, ktora mi este stale robi problem. (vid. prispevok #12)

A dakujem za vsetky vase doterajsie rady a pomoc, ktora urcite nebola marna, lebo uz sa mi zacina rozsvecovat. :-)

Rumburak

↑ etchie:
Ano, je to správně. Zápis $\ln'$ (ve smyslu derivace logaritmické funkce) je poněkud neobvyklý a snad i diskutabilní (viz onen názor přednesený
váženou kolegyní Jelenou - jako v jiných oborech tak i v matematice existují různé metodické školy), i když já osobně ho za chybný nepovažuji.
Pokud bych onen symbol použil v nějakém materiálu (jako je například písemka) a nebyl si jist, jak bude přijat hodnotitelem, pro jistotu bych
doplnil patřičný vysvětlující komentář, např. " $\ln'$ značí derivaci logaritmické funkce $y = \ln x$ " - to by mělo být postačující (přinejmenším
na MFF :-) ) . Tomuto problému se lze i vyhnout - následovně:

$\left(x^{x^2+1}\right)' = \left(\mathrm{e}^{\ln x^{x^2+1}}\right)' = \left(\mathrm{e}^{(x^2+1)\ln x}\right)' = \mathrm{e}^{(x^2+1)\ln x} \cdot ((x^2+1)\ln x)' = ...$ .

etchie · 26. 07. 2011 19:13

↑ Rumburak:

v jednej knihe som nasiel vyraz, ktory ma nazov "logaritmicka derivacia funkcie" a ma tvar $(ln|f|)'=\frac{f'}{f}$

kvoli tomu, ze som tento vztah doteraz nepoznal, lebo nebol ani v jednom suhrne vzorcov, z ktorych som sa derivacie ucil, tak som nevedel pochopit ako vlastne dochadza k derivacii lavej strany. aby som vobec mohol lavu stranu zderivovat, tak som vzdy na to isiel cez derivaciu zlozenej funkcie $f \circ g$ . to sice viedlo k spravnemu vysledku, ale nevedel som ako to mam zapisat. po objaveni uvedeneho vyrazu je mi to uz jasne a nedochadza k tej pre mna nekonecnej slucke. tiez uz viem ako by to urobil stroj - kedze na rozdiel odo mna, stroj by bol poznal toto pravidlo.

pre uplnost by ma zaujimalo, ci sposob, ktorym som lavu stranu zderivoval ja, teda $[ln(f(x))]'$ za pouzitia pravidla pre derivaciu zlozenej funkcie, dava spravny vysledok iba zhodou okolnosti alebo je to takto spravne aj napriek tomu, ze nebolo mozne to uplne spravne zapisat. myslim si, ze to spravne je, ale potrebujem to mat potvrdene. dakujem

Rumburak

↑ etchie:
Funkci $h(x):=\ln(f(x))$ na vhodném definičním oboru D (aby pro každé $x\in D$ bylo definováno $f(x)$ a mělo navíc kladnou hodnotu -
to s ohledem na definiční obor logaritmické funkce) získáme jako speciální případ obecnějšího tvaru složené funkce $h =g \circ f$ , v němž klademe
$g(t) := \ln t$ . Je-li částí množiny D otevřený interval J , v jehož bodě c existuje f'(c) a má konečnou hodnotu, potom jsou předpoklady věty
o derivaci složené funkce splněny (neboť je splňuje i funkce ln v roli funkce g) a můžeme tuto větu použít . Takže: je-li $w = f(c)$ , potom podle
této věty platí obecně $h'(c) =g'(w)\cdot f'(c)$ , což pro $g(t) \equiv \ln t$ dává $h'(c) =\frac{1}{w}\cdot f'(c) = \frac{1}{f(c)}\cdot f'(c)$ .
Nejde zde tedy o nějakou náhodu, ale o aplikaci věty o derivaci složené funkce, ptal-li ses na toto.

PS. Ta "logaritmická derivace" je jen taková celkem nepodstatná paráda, na kterou klidně můžeš zapomenout, tedy pokud její znalost není
požadována učitelem. To, co je zde opravdu důležité (a co bys zapomenout neměl), je věta o derivaci složené funkce a co je derivací
přirozené logaritmické funkce .