Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Vyber - a nebo dokaž, že je to on?
Offline
Offline
↑ BakyX: Preložené do reči Pytagorasa.... Hľadáme bod na elipse, ktorý nám vytvorí so špagátom upevneným v ohniskách plošne najväčší trojuholník.
http://www.youtube.com/watch?v=HYWu7PS3 … re=related
Offline
↑ pietro:
Není to zcela ekvivalentní (resp. bylo by nutné tuto ekvivalenci dokázat) s naší úlohou. U elipsy je totiž ohnisková vzdálenost pevně dána, kdežto u hledaného trojúhelníku není dána délka ani jedné ze stran.
Offline
↑ check_drummer:
↑ pietro:
taky se mi to nezdá,
Nástřel řešení:
Použijeme "známého" faktu, že ze všech -úhelníků s daným obvodem má největší obsah pravidelný -úhelník.
Aplikací dostanem, že při daném obvodu má největší obsah rovnostranný trojúhelník.
Protože platí tedy dostaneme
Ještě by však chtělo dokázat onen "známý" fakt.
EDIT
Možná že by to šlo přes hledaní maxima funkce s pevným ale předpokládám, že BakyX chce spíš geometrické řešení, než analytické
Offline
↑ check_drummer: Myslím si, že ekvivalentní to být může. Prostě jen přeformulujme takto: Pro jaká u a v má trojúhelník se stranami délek 1, u a v největší obsah? Obvod O pak jen dostaneme do hry scalingem (1+u+v=O), je-li to vůbec nutné. Není tak?
Offline
byk7 napsal(a):
Nástřel řešení:
Použijeme "známého" faktu, že ze všech n-úhelníků s daným obvodem má největší obsah pravidelný n-úhelník.
a za n dosadíme 3. jak prosté:D
↑ musixx: není. čím větší u a v zvolíš, tím větší dostaneš obsah. ty ale chceš dokázat, že je to u=v=1
Offline
↑ musixx:
To ne, to bys hledal trojúhelník, kde máš de facto pevně danou délku strany. Kdybys pak dodal podmínku "1+u+v=3", neřešil bys, jaký je největší obsah trojúhelníka daného obvodu, ale jaký je největší obsah trojúhelníka daného obvodu za předpokladu, že jedna strana je dlouhá přesně třetinu obvodu. Tedy i kdyby ti nakrásně vyšlo řešení takové úlohy "u=v=1", pak jsi ještě neuvážil všechny trojúhelníky daného obvodu, konkrétně ty, které nemají stranu délky přesně O/3.
(pozn: úloha "Pro jaká u a v (z R) má trojúhelník se stranami délek 1, u a v největší obsah?" zřejmě nemá řešení - položím-li u=v a budu zvětšovat jeho hodnotu do nekonečna, pak se i výška troj. neomezeně poroste (stačí ukázat, že ) - neboli obsah trjúhelníka nad úsečkou(bez dalších podmínek) může být neomezeně velký)
Offline
↑ Stýv: ↑ OiBobik:. Jo, jo. Nechal jsem se unést tím příkladem elipsy a nenapsal všechno. Další podmínka je, že ta strana délky 1 je v tom trojúhelníku maximální, tedy navíc chci . To už pak postihuje vše, souhlasíte? Výška na tu jednotkovou stranu pak je , tedy je třeba maximalizovat na oblasti , což se snadno ukáže, že nemá lokální extrémy a vyšetřit hranici je snadné.
Offline
↑ Stýv: ... s maximální stranou 1 ...
A kromě toho: každý trojúhelník má některou ze svých stran maximální délky. No tak si jen beru vhodné měřítko.
No a to něčemu vadí? Můj výpočet, specielně funkce nemá na lokální extrém (parciální derivace a nemohou být nikdy současně nulové), je to (dle očekávání) symetrický polynom, takže vyšetření hranice stačí udělat pro u=0, kde je funkční hodnota nekladná, a pro u=1, kde je to , což je maximální (a kladné) pro v=1, tedy jde o trojúhleník rovnostranný.
Offline
↑ musixx:
Já tam vidím problém v tom, že nikdy není v těch jednotlivých formulacích zahrnuta celá množina trojúhelníků se stejným obvodem (i kdyby jako podmnožina nějaké větší množiny). Z toho, jaks doplnil podmínky, plyne , ovšem (alespoň) pro každé takové k (a zejména i pro k=2) existuje trojúhelník, který nemá žádnou stranu délky 1 a má stejný obvod (1+k), tedy jsme jej i do potenciálního důkazu nezahrnuli a nelze vyloučit, že takový trojúhelník může mít větší obsah.
Offline
↑ Stýv: Já mám pořád pocit, že nejsem vedle. Ale raději si to ještě promyslím, ať tady teď nevařím z vody.
Byl-li by optimální poměr 8:9:10, pak by mi vyšlo buď u=0.8 a v=0.9 nebo naopak.
Možná, že přesně těmi "optimálními poměry" bych měl argumentovat. Strany každého trojúhelníka totiž ve vhodném pořadí splňují poměr u:v:1, kde . Mám tedy pocit, že mi žádný trojúhelník neunikl. Ale v této souvislosti se ještě musím zamyslet nad argumentem ↑ OiBobik: v #14.
Offline
↑ musixx:
To je právě ono, jestli převedeš dva trojúhelníky se stejným obvodem, ale s různou délkou nejdelší strany (řekněme l,m), do tvaru u,v,1, paks je zmenšil v různých poměrech(tj 1/l a 1/m), tedy i jejich obsahy jsi zmenšil v různých poměrech (1/l^2, 1/m^2) a porovnávání obsahů těchto trojúhelníků už není validní.
Offline
Přiznám se, že jsem nečetl celou diskusi a musel jsem si po tom horkém dni dát jednu plzeň, ale dle mého by ta elipsa mohla pomoci:
1) Mějme nějaký trojúhelník s pevnou stranou "a" a daným obvodem, o kterém někdo tvrdí, že má maximální obsah. Pomocí té eliptické konstrukce ukážu, že musí být nutně rovnoramenný (se základnou a).
2) Mějme rovnoramenný trojúhelník se základnou "a" a daným obvodem, o kterém někdo tvrdí, že má maximální obsah.
Lze použít stejnou metodu jako v bodě 1: Vezmu jednu ze shodných stran jako vzdálenost ohnisek elipsy a pokud tento trojúhelník není rovnostranný, mohu z něj udělat trojúhelník s větším obsahem.
Tj. máme dokázáno, že pokud existuje trojúhelník s maximálním obsahem, pak je rovnostranný.
Nyní tedy zbývá ukázat, že trojúhelník s maximálním obsahem existuje. Dle mého by to šlo tak, že v prostoru délek stran a,b, které vyhovují zadání úlohy lze volit taková a,b, že a,b>=epsilon pro dostatečně malá epsilon. Jinými slovy, pokud je jedna strana hodně malá, pak se v ní maximálního obsahu nenabyde. V takovémto prostoru by pak tato a,b tvořila uzavřenou množinu, na které spojitá funkce S tedy nabývá maxima.
Offline
2) Mějme rovnoramenný trojúhelník se základnou "a" a daným obvodem, o kterém někdo tvrdí, že má maximální obsah.
A tady chci nějak elegantně dokázat, že musí být rovnostranný. Možná tak, že z nerovnostranného zkonstruujíi rovnostranný a co "uberu" je menší než to co "přidám". Je to dost vágní, ještě se zamyslím.
Toto jde lehce pomoci derivace, hledanim maxima, ne?
Offline
↑ Phate:
Chtěl bych něco elegantnějšího. :-)
Offline
Offline
↑ Honzc:
Já jsem se chtěl vyhnout derivacím. Ale když vidím ten Heronův vzorec, tak by vše šlo i jinak:
pro , kde o je obvod, P obsah.
s je konstantní, takže maximalizujeme . Zkoumejme maximum , zřejmě se maxima nabyde pro stejná a,b,c ať již uvažujeme nebo . A teď to přijde: použijeme AG nerovnost a máme . Ovšem maxima se nabyde pro ta a,b,c, pro která je s-a=s-b=s-c, tj.
, tj. a=b=c.
Offline
↑ check_drummer: Když si pořádně přečteš můj příspěvek, tak i ↑ já: jsem vycházel z Heronova vzorce, jen jsem to upravil. :)
Offline
↑ byk7:
Nepostupoval jsem přes derivace, takže je to snad středoškolsky dostupné vysvětlení.
Nevím, zda je požadovánoo geometrické řešení nebo jiné, já preferoval nějaké elementární.
Offline
↑ check_drummer: ovšem
Offline