Matematické Fórum

Neony · 03. 02. 2012 19:21

Dobrý den, chtěl bych se zeptat, jak na postup v tomto zadání? Mělo by to vyjít (3/2)*pi

Zadání:
Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací plochy mezi křivkami y = x^2 +1, y = 0, x = 1
a x = 0 kolem osy y.

Zde moje úvaha: $V=\pi \int_{0}^{1} (y-1)*dy=[\frac{y^{2}}{2}-y]^{1}_{0} =\frac{1}{2}\pi$

Předem děkuji za odpověď

Rumburak

↑ Neony:

Úvaha správná, Jsou tam ale drobné chyby. Pro x=1 vyjde y = 2, takže

$V=\pi \int_{0}^{2} x^2(y)\,\mathrm{d}y=\pi \int_{0}^{2} (y-1)\,\mathrm{d}y=\pi \left[\frac{y^{2}}{2}-y\right]^{2}_{0} =\frac{3}{2}\pi$ .

EDIT. Tento příspěvek beru zpět, viz ↑ Rumburak:

Neony · 04. 02. 2012 10:25

Rumburak napsal(a):
↑ Neony:
Úvaha správná, Jsou tam ale drobné chyby. Pro x=1 vyjde y = 2, takže

Super, velice děkuji.. Učím se to samostudiem, takže jsem si nebyl zcela jist, ještě jednou děkuji

Honzc · 04. 02. 2012 10:58 — Editoval Honzc (04. 02. 2012 10:59)

↑ Neony:
Jenom pro doplnění.
Existuje vzorec pro výpočet objemu rotačního tělesa vznikléhé rotací křivky kolem osy y.
$V=2\pi \int_{a}^{b}xydx$
Tedy
$V=2\pi \int_{0}^{1}x(x^{2}+1)dx=2\pi[\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{2}}{2}]^{1}_{0}=2\pi\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\pi$

Rumburak

↑ Neony:
Ahoj, s časovým odstupem teď vidím a musím sebekriticky a s omluvou přiznat, že můj postup v ↑ Rumburak: byl bohužel chybný .
Základem našeho tělesa je rotační válec výšky 2, jehož dolní podstavou je kruh $x^2 + y^2 \le 1$ . Shora je toto těleso ohraničeno
čásí plochy vzniklé rotací paraboly $y =x^2 + 1$ okolo osy y. Ze základního válce je tak shora vyříznuta úseč rotačního paraboloidu,
jejíž objem musíme odečíst od objemu $\pi r^2 v = 2\pi$ základního válce. Objem tělesa, které nás zajímá, proto bude

$V=2\pi - \pi \int_{1}^{2} x^2(y)\,\mathrm{d}y=2\pi - \pi\int_{1}^{2} (y-1)\,\mathrm{d}y=2\pi - \pi \left[\frac{y^{2}}{2}-y\right]^{2}_{1}=2\pi - \frac{1}{2}\pi =\frac{3}{2}\pi$ .

Výpočet by šlo provést též jinými metodami, například pomocí dvojného či trojného integrálu , nebo podle vzorce, který doporučil kolega Honzc.

Administrátory pak prosím o odebrání bodu nezaslouženě mi uděleného za předchozí chybný příspěvek.

jelena · 06. 02. 2012 20:39

↑ Rumburak:

Kolegovi Neony jsem poslala upozorňující mail ohledně opravy a, kdyby nám nezamrznul inkoust, tak bych Tebe připsala na nástěnku.

To z mého pohledu je dostačuji (těžce udřené Admiratorstvo bych už nerušila). Zdravím :-)

-------------------------------- že naše Johanna píše krásně a přesně:
"...Tak toužebně vzdychám po únoru, jenž mne konečně spasí a navrátí milému druhu a příteli, psacímu stolu! Co jsem mohla zde napsati, kdyby nebylo těch neustálých dopisů do pisárny bývalo! Věř mi, že hodně dlouhou novelu. Musela jsem si se věru sama sobě několikrát pousmáti, že zdraví svého šetřím nedopřejíc si příjemné práce, a nepříjemné že každý den alespoň dvě hodiny hlavu, oči a rozmar obětuji."

Rumburak

↑ jelena:
Zdravím a děkuji. Inkoust mezitím rozmrzl , tak jsem se na tu nástěnku připsal sám . :-)

jelena · 07. 02. 2012 10:35

↑ Rumburak:

no výborně, alespoň máme co číst v novinkách :-)

Ano, z "Literárního soukromí" z období, kdy byla nucena se aktivně a veřejně angažovat za údajné osvobození žen. Ještě zjisti, prosím, z díla kterého ruského autora je únor a inkoust (je přeloženo do češtiny, tedy nebude problém) a budeme považovat téma za zcela vyřešené.

Zdravím :-)

Rumburak · 07. 02. 2012 11:35

↑ jelena:
Bude to problém :-), protože významných ruských spisovatelů a jejich děl bylo mnoho, zatímco já jsem četl jen něco málo
(od L.N.Tolstého, Puškina, Jefremova, Solženicyna, Pasternaka, Katejeva a Gajdara).

jelena · 07. 02. 2012 11:37

↑ Rumburak:

tak z toho mala (což je celkem pěkný seznam) určitě už vybereš - je tam :-)

Neony · 11. 02. 2012 12:37 — Editoval Neony (11. 02. 2012 12:37)

↑ Rumburak:
Pěkný den, chybovat je lidské a :) s tím se musí počítat (já už si toho též nevšiml - nepřepočítával jsem to)... Jinak děkuji velice za opravu a tak si plusový bod určitě zasloužíte!!

Rumburak · 13. 02. 2012 09:34

↑ Neony:

Děkuji za laskavost a srdečně zdravím . :-)

jelena · 14. 02. 2012 13:30

↑ Neony:

Také děkuji.

↑ Rumburak:

pro pořádek: Je to Pasternak - "Únor" (nepříliš správná báseň na můj pohled, neb se těší na duben, ovšem "Zimní noc" je správná báseň, neb všude byla vánice - v únoru). Obě jsou do češtiny přeloženy, originály zde například. Hezké čtení přeji a zdravím.

Rumburak · 14. 02. 2012 13:49

↑ jelena:
Díky za informaci. Během svého dvoutýdenního pobytu v Moskvě (už je to řada let) jsem vyhledal Pasternakův hrob v nedalekém Peredelkinu.
Avšak četl jsem od něho pouze slavného Dr. Živága - ke čtení poesie se odhodlávám pouze výjimečně - asi nemám pro ni ty správné buňky.
Zdravím též :-) .

Matematické Fórum

#1 03. 02. 2012 19:21

Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

#2 03. 02. 2012 21:17 — Editoval Rumburak (07. 02. 2012 10:09)

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

#3 04. 02. 2012 10:25

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

Rumburak napsal(a):

#4 04. 02. 2012 10:58 — Editoval Honzc (04. 02. 2012 10:59)

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

#5 06. 02. 2012 10:00 — Editoval Rumburak (06. 02. 2012 10:30)

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

#6 06. 02. 2012 20:39

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

#7 07. 02. 2012 10:20 — Editoval Rumburak (07. 02. 2012 10:25)

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

#8 07. 02. 2012 10:35

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

#9 07. 02. 2012 11:35

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

#10 07. 02. 2012 11:37

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

#11 11. 02. 2012 12:37 — Editoval Neony (11. 02. 2012 12:37)

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

#12 13. 02. 2012 09:34

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

#13 14. 02. 2012 13:30

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

#14 14. 02. 2012 13:49

Re: Aplikace určitého integrálu - objem tělesa

Zápatí