Matematické Fórum

Marian · 12. 10. 2008 01:01

Pro které dvojice (a,b) reálných čísel nevlastní integrál
$\int_{b}^{\infty}\left (\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}-\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-b}}\right )\,\mathrm{d}x$
konverguje?

Pavel · 12. 10. 2008 02:44 — Editoval Pavel (12. 10. 2008 17:18)

Podařilo se mi dokázat, že bude-li $a\neq b$ , bude integrál divergentní. Je zřejmé, že aby měly výrazy pod odmocninami smysl, musí platit $a\geq 0$ a $b\geq 0$ . Případ $a=0$ a $b=0$ je triviální. Nech? je alespoň jedna z konstant a, b různá od 0.

Použijme Lagrangeovu větu o střední hodnotě:

$\frac{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}{x+a-x}=\frac 1{2\sqrt{\zeta}}\,\qquad\zeta\in(x,x+a)\nl \sqrt{x+a}-\sqrt{x}=\frac a2\,\cdot\,\frac 1{\sqrt{\zeta}}\,>\,\frac a2\,\cdot\,\frac 1{\sqrt{x+a}}$
$\Large\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}\,>\,\sqrt{\frac a2}\,\cdot\,\frac 1{\sqrt[4]{x+a}}$

$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x-b}}{x-(x-b)}=\frac 1{2\sqrt{\eta}}\,\qquad\eta\in(x-b,x)\nl \sqrt{x}-\sqrt{x-b}=\frac b2\,\cdot\,\frac 1{\sqrt{\eta}}\,<\,\frac b2\,\cdot\,\frac 1{\sqrt{x-b}}\nl \sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-b}}\,<\,\sqrt{\frac b2}\,\cdot\,\frac 1{\sqrt[4]{x-b}}$
$\Large -\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-b}}\,>\,-\sqrt{\frac b2}\,\cdot\,\frac 1{\sqrt[4]{x-b}}$

Původní integrál mohu nahradit tímto:

$\left|\int_{b}^{\infty}\left (\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}-\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-b}}\right )\,\rm{d}x\right|\,>\,\left|\int_{b}^{\infty}\left (\sqrt{\frac a2}\,\cdot\,\frac 1{\sqrt[4]{x+a}}-\sqrt{\frac b2}\,\cdot\,\frac 1{\sqrt[4]{x-b}}\right )\,\rm{d}x\right|=\frac 43\left|\,\left[\sqrt{\frac a2}\,\cdot\,\sqrt[4]{(x+a)^3}-\sqrt{\frac b2}\,\cdot\,\sqrt[4]{(x-b)^3}\right]_b^{\infty}\right|$

Nyní stačí spočítat limitu primitivní funkce v $\infty$ . Původní integrál je divergentní, je-li limita nevlastní.

$\lim_{x\to\infty}\left|\sqrt{\frac a2}\,\cdot\,\sqrt[4]{(x+a)^3}-\sqrt{\frac b2}\,\cdot\,\sqrt[4]{(x-b)^3}\right|=\lim_{x\to\infty}\left|\sqrt[4]{\frac{a^2}{4}\,(x+a)^3}-\sqrt[4]{\frac{b^2}{4}\,(x-b)^3}\right|=\nl=\lim_{x\to\infty}\left|\frac{\frac{a^2}{4}\,(x+a)^3-\frac{b^2}{4}\,(x-b)^3}{\sqrt[4]{\left(\frac{a^2}{4}\,(x+a)^3\right)^3}+\sqrt[4]{\left(\frac{a^2}{4}\,(x+a)^3\right)^2\left(\frac{b^2}{4}\,(x-b)^3\right)}+\sqrt[4]{\left(\frac{a^2}{4}\,(x+a)^3\right)\left(\frac{b^2}{4}\,(x-b)^3\right)^2}+\sqrt[4]{\left(\frac{b^2}{4}\,(x-b)^3\right)^3}}\right|=\nl= \lim_{x\to\infty}\left|\frac{x^3(\frac{a^2}{4}-\frac{b^2}{4})+x^2(\frac{3a^3}{4}+\frac{3b^3}{4})+x(\frac{3a^4}{4}-\frac{3b^4}{4})+\frac{a^5}{4}+\frac{b^5}{4}}{x^{\frac 94}\left[\sqrt[4]{\left(\frac{a^2}{4}\,(1+\frac ax)^3\right)^3}+\sqrt[4]{\left(\frac{a^2}{4}\,(1+\frac ax)^3\right)^2\left(\frac{b^2}{4}\,(1-\frac bx)^3\right)}+\sqrt[4]{\left(\frac{a^2}{4}\,(1+\frac ax)^3\right)\left(\frac{b^2}{4}\,(1-\frac bx)^3\right)^2}+\sqrt[4]{\left(\frac{b^2}{4}\,(1-\frac bx)^3\right)^3}\right]}\right|=\nl= \lim_{x\to\infty}\left|\frac{x^3(\frac{a^2}{4}-\frac{b^2}{4})}{Kx^{\frac 94}}\right|=\left|\frac{\frac{a^2}{4}-\frac{b^2}{4}}{K}\right|\lim_{x\to\infty}\left|x^{\frac 34}\right|,$

kde $K$ je nějaká kladná reálná konstanta nezávislá na $x$ . Limita bude nevlastní, jestliže $\red a\neq b$ .

Pavel Brožek

↑ Marian:, ↑ Pavel:

Dokončím tedy tu jednodušší část pro b=a>0:

$\int_{a}^{\infty}\left (\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}-\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-a}}\right )\,\mathrm{d}x =\int_{a}^{\infty}\frac{$\sqrt{x+a}-\sqrt{x}$-$\sqrt{x}-\sqrt{x-a}$}{\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}+\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-a}}}\,\mathrm{d}x =\int_{a}^{\infty}\frac{\sqrt{x+a}+\sqrt{x-a}-2\sqrt{x}}{\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}+\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-a}}}\,\mathrm{d}x=\nl =\int_{a}^{\infty}\frac{$\sqrt{x+a}+\sqrt{x-a}$^2-$2\sqrt{x}$^2}{$\sqrt{x+a}+\sqrt{x-a}+2\sqrt{x}$$\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}+\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-a}}$}\,\mathrm{d}x =\int_{a}^{\infty}\frac{x+a+x-a+2\sqrt{x^2-a^2}-4x}{$\sqrt{x+a}+\sqrt{x-a}+2\sqrt{x}$$\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}+\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-a}}$}\,\mathrm{d}x=\nl =2\int_{a}^{\infty}\frac{\sqrt{x^2-a^2}-x}{$\sqrt{x+a}+\sqrt{x-a}+2\sqrt{x}$$\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}+\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-a}}$}\,\mathrm{d}x =2\int_{a}^{\infty}\frac{x^2-a^2-x^2}{$\sqrt{x^2-a^2}+x$$\sqrt{x+a}+\sqrt{x-a}+2\sqrt{x}$$\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}+\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-a}}$}\,\mathrm{d}x=\nl =-2a^2\int_{a}^{\infty}\frac{1}{$\sqrt{x^2-a^2}+x$$\sqrt{x+a}+\sqrt{x-a}+2\sqrt{x}$$\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}+\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-a}}$}\,\mathrm{d}x$

Dále

$\|\int_{a}^{\infty}\frac{1}{$\sqrt{x^2-a^2}+x$$\sqrt{x+a}+\sqrt{x-a}+2\sqrt{x}$$\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}+\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-a}}$}\,\mathrm{d}x\| \leq\|\int_{a}^{\infty}\frac{1}{x\cdot2\sqrt{x}\cdot$\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}$}\,\mathrm{d}x\| =\|\int_{a}^{\infty}\frac{1}{x\cdot2\sqrt{x}\cdot\sqrt{\frac{a}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x}}}}\,\mathrm{d}x\|\leq\nl \leq\|\int_{a}^{\infty}\frac{1}{x\cdot2\sqrt{x}\cdot\sqrt{\frac{a}{2\sqrt{x+a}}}}\,\mathrm{d}x\| =\frac{\sqrt2}{2\sqrt a}\|\int_{a}^{\infty}\frac{\sqrt[4]{x+a}}{x^{\frac32}}\,\mathrm{d}x\| \leq\frac{\sqrt2}{2\sqrt a}\|\int_{a}^{\infty}\frac{\sqrt[4]{2x}}{x^{\frac32}}\,\mathrm{d}x\| =\frac{\sqrt[4]{2^3}}{2\sqrt a}\|\int_{a}^{\infty}x^{\frac14-\frac32}\,\mathrm{d}x\| =\frac{\sqrt[4]{2^3}}{2\sqrt a}\|\int_{a}^{\infty}x^{-\frac54}\,\mathrm{d}x\|<+\infty$

Pavel Brožek · 12. 10. 2008 19:28

Zbývá spočítat

$\int_{a}^{\infty}\left (\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}-\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-a}}\right )\,\mathrm{d}x$

Podle Mathematica to jde, řekl bych, že výsledek je celkem hezký :-)

Marian · 12. 10. 2008 22:00 — Editoval Marian (12. 10. 2008 22:04)

↑ Pavel:↑ BrozekP:

Zdravím oba! Věděl jsem, že vás dva tahle úloha nenechá v klidu. Dá se uvažovat i následující postup (předpokládám již, že čísla a a b jsou kladná):

$\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{\sqrt{x+a}+\sqrt{x}}}=x^{-\frac{1}{4}}\sqrt{a}\cdot\sqrt{\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a}{x}}+1}}=\sqrt{\frac{a}{2}}x^{-\frac{1}{4}}\left (1+O(x^{-1})\right )$

podobně

$\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-b}}=\sqrt{\frac{b}{2}}x^{-\frac{1}{4}}\left (1+O(x^{-1})\right ).$

Odtud snadno

$\int_{b}^{\infty}\left (\sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}}-\sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-b}}\right )\,\mathrm{d}x=\int_{b}^{+\infty}\left (\sqrt{\frac{a}{2}}-\sqrt{\frac{b}{2}}\right )x^{-\frac{1}{4}}\left (1+O(x^{-1}\right )\,\mathrm{d}x=\nl \int_{b}^{+\infty}\left (\sqrt{\frac{a}{2}}-\sqrt{\frac{b}{2}}\right )x^{-\frac{1}{4}}\,\mathrm{d}x+\int_{b}^{+\infty}\left (\sqrt{\frac{a}{2}}-\sqrt{\frac{b}{2}}\right )O\left (x^{-\frac{5}{4}}\right )\,\mathrm{d}x.$

Druhý integrál je ale jasně konvergentní. Tedy divergence/konvergence původního integrálu je zřejmá z divergence/konvergence integrálu $\int_{b}^{+\infty}\left (\sqrt{\frac{a}{2}}-\sqrt{\frac{b}{2}}\right )x^{-\frac{1}{4}}\,\mathrm{d}x$ . A tady je již diskuze snadná.

Matematické Fórum

#1 12. 10. 2008 01:01

Říjnový nevlastní integrál (konvergence)

#2 12. 10. 2008 02:44 — Editoval Pavel (12. 10. 2008 17:18)

Re: Říjnový nevlastní integrál (konvergence)

#3 12. 10. 2008 17:59 — Editoval BrozekP (12. 10. 2008 18:00)

Re: Říjnový nevlastní integrál (konvergence)

#4 12. 10. 2008 19:28

Re: Říjnový nevlastní integrál (konvergence)

#5 12. 10. 2008 22:00 — Editoval Marian (12. 10. 2008 22:04)

Re: Říjnový nevlastní integrál (konvergence)

Zápatí