Matematické Fórum

jarka20 · 15. 03. 2012 22:01

ahoj pomohl by mi nekdo prosim s timto příkládkem???

$\int_{}^{}cos^{6}x sin^{2}x dx$

vanok · 15. 03. 2012 22:15

Ahoj ↑ jarka20:,
skus linearizovat tvoj vyraz.

jarka20 · 15. 03. 2012 22:59

↑ vanok:
?? :D jako myslis jako tohle??

$\int_{}^{}(cos^{2}x)^{4}sin^{2}xdx$

Bati · 16. 03. 2012 12:55

Ahoj,
na tento typ integrálů existují obecné redukční vzorce, které postupně snižují mocniny sinu a kosinu ale jsou poměrně komplikované a těžko zapamatovatelné. Nejlepší asi bude to udolat pomocí opakovaného použití identit:

$\mathrm{sin}(x)\mathrm{cos}(x)=\frac12 \mathrm{sin}(2x)\nl \mathrm{sin}^2(x)=\frac12(1-\mathrm{cos}(2x))\nl \mathrm{cos}^2(x)=\frac12(1+\mathrm{cos}(2x))$

Tím se integrál rozpadne na mnoho jednodušších částí typu $\int f(ax)g(bx)\,\mathrm{d}x$ , kde f a g jsou sinus nebo kosinus. Na to se dají použít další identity, které se odvodí ze vzorců pro sinus nebo kosinus součtu nebo rozdílu, sečtením vhodných rovností a vyjádřením požadovaného součinu.

vanok · 16. 03. 2012 14:08 — Editoval vanok (16. 03. 2012 23:49)

Poznamka o metode linearizacie trigonometrickych vyrazov =odstranenie mocnyn v konecnoim vyraze..
( Normalne sa pouzije, ked nic ine jednoduche nevidime v problemoch integracie)
Vieme, ze
$\cos^{n} x = \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{n}$
$\sin^{n} x= \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{n}$
Ako aj (de Moivre) :

$(\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \,$

Tak to pouzime naprilad na vyraz $\cos^{6}x \sin^{2}x$ aby si mala model prace
$\cos^{6}x \sin^{2}x = \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^{6} \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^{2}=$
$-\frac 1{2^8}$e^{-6ix}+{6 \choose1}e^{-5ix}e^{ix} +{6 \choose 2}e^{-4ix}e^{2ix}+{6 \choose3}e^{-3ix}e^{3ix}+{6 \choose4}e^{-2ix}e^{4ix}+ {6 ^choose5}e^{-ix}e^{5ix}+e^{6ix} $$
$$e^{-2ix} -2e^{-ix}e^{ix}+e^{2ix} $=$
$-\frac 1{2^8}(e^{-6ix}+6e^{-4ix} +15e^{-2ix}+20+15e^{2ix}+ 6e^{4ix}+e^{6ix})(e^{-2ix} -2+e^{2ix} )=$
$-\frac 1{2^8}(e^{-8ix}+6e^{-6ix} +15e^{-4ix} +20e^{-2i } +15+6e^{2ix}+e^{4ix}+$
$-2e^{-6ix}-12e^{-4ix} -30e^{-2ix}-40-30e^{2ix}-12e^{4ix}-2e^{6ix}$
$e^{-4ix}+6e^{-2ix} +15+20e^{2ix}+15e^{4ix}+ 6e^{6ix}+e^{8ix})=$
$-\frac 1{2^7}[ ( \frac{e^{8ix}+e^{-8ix}}{2})+4\cdot (\frac{e^{6ix}+e^{-6ix}}{2})+4\cdot (\frac{e^{4ix}+e^{-4ix}}{2})+$
$-4\cdot (\frac{e^{2ix}+e^{-2ix}}{2})-5]=$
$-\frac 1{2^7}[ \cos (8x)+4 \cos (6x)+4\cos (4x)-4\cos (2x)-5]$
Z posledneho vyrazu sa da jednoducho vypocitat dany integral:
$-\frac 1{2^7}[\frac 18 \sin(8x)+\frac46 \sin (6x)+\frac 44 \cos (4x)-\frac42\cos (2x)-5x + K]=$
$-\frac 1{2^7}[\frac 18 \sin(8x)+\frac23 \sin (6x)+ \sin(4x)-2\sin (2x)-5x + K]$

jarka20 · 16. 03. 2012 15:20

↑ vanok:
ahoj,
tak toto vydím poprvé v životě a pokračovat opravdu nedokážu :( pomůžeš??

jarka20 · 16. 03. 2012 15:21

↑ vanok:
jo a prosimtě není to sinus hyperbolický s těmi ečky?? jak jsi ta uvedl??

vanok · 16. 03. 2012 15:41 — Editoval vanok (17. 03. 2012 11:46)

↑ jarka20:
Nie to su dosledky Eulor-ovej relacie.
$e^{ix} = \cos x + i\;\sin x$
I ked sa to podoba na hyperbolicke funkcie: tu je to z i : $e^{ix}....$
a hyperbolicke funkcie nemaju to i : $e^x....$

Poznamka: prave tato podobnost dala mena hyperbolickym funkciam

Inac, to som nevedel ze sa to casto neuci v CZ a SK....ale princip je jednoduchy ale vypocty su trochu otrocke (ale nie viac ako inymy metodamy)...a maju vyhodu, ze vypocet sa dobre zorganizovat.

Poznamka:
Toto moze posluzit na kontrolu.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=+i … 6x+sin^2+x
A ak si tam pozries na metodu, tak mas tam pouzity rekurentny vzorec (per partes) pouzity hrozne vela krat.
Tak na koniec, metoda co som ti dal je o mnoho rychlesia ( pre cloveka) ako ta z Wolframu.

jelena · 17. 03. 2012 10:07

↑ vanok:

Zdravím,

děkuji za upozornění pro umístění do vzorových úloh. Ohledně metody, co jsi použil, zda se učí běžně - myslím, že ne, exponenciální tvar komplexních čísel je také opomíjen. Snad upřesní někdo z kolegů.

Myslím si, že pro kolegyňku jarku20 bude schůdnější metoda, kterou navrhuje ↑ Bati:, běžně se učí, není náročná a nevyžaduje více, než SŠ vzorce. Ale to musí kolegyňka napsat sama. Pokud se téma přesune do vzorových, už není možnost v tématu přidávat příspěvky, tedy zatím bych téma zde ponechala.

Pro souhrnný pohled je však určitě dobré mít úlohu kompletně pomocí více metod.

Celkově starost o sekci Vzorových je náročná a pořádně nevíme, zda někdo z uživatelů používá pro hledání - ze statistik se mi to tak nejeví. Přehlednější se mi zdá umístění kompletního řešení na MatWiki, jak používá kolega Zdeněk.

Až bude trochu času, snad v letě, tak se pokusíme domluvit, co se sekci. Děkuji a zdravím.

vanok · 17. 03. 2012 11:44

↑ jelena:,

Pozdravujem,

pochopitelne, procesus, linearizacie moze byt urobeny na viac etap, a to napriklad iteraciou vlasnosti $\sin (2x); \cos (2x)$ cf↑ Bati: a binomickej vety ale vypocty stratia vela na prehladnosti.

I ked sa mozno, metoda linearizacia explicitne nevyucuje, jej vysvetlenie nepotrebuje viac ako tri riadky ... a ak sa veta de Moivre-ova pouziva uz na strednej skole, tak vsetko, co treba vediet mame k dispozicii.

Ina otazka je:vysoka skola je "super stredna skola" kde sa pouzivaju stale len stredoskolske vzorce, aj ked mame metody co povoluju ist dalej vo vedomostiach?
Nic nemam proti pouzivani takychto metod, ale som aj za ine, co stredoskolak nepozna.

Pedagogicky, povedane : dat takyto integral na skuske, na ktoreho riesenie treba xxx minut je normalne alebo nie?

Ci takyto priklad patri do vzorovych prikladov, alebo nie? Podla mna tam patri, aby kazdy mohol lahko najst nieco zajuimave, co si nezasluzi byt zakopane a tak stratene . Ja vidim vzorove prklady ako sluzbu pre kolegov, co maju volu pracovat co najviac sami.
Tak pockajme zatial, ci kolegina urobi jej vlastne riesenie, alebo sa tu najdu ine navrhy na riesenie, co by mohli obohatit tuto temu.

Poznamka: Zaujimava metoda prispevkov na MATHWIKI je pre ludi co maju SK alebo CZ klavesnicu, co ja nemam.

jelena · 17. 03. 2012 14:53

↑ vanok:

děkuji za příspěvek.

Určitě každá další osvojená metoda je přínosná. Podle reakce autorky soudím, že s integrály začíná, tedy v první řádě bych doporučila osvojit standardy a navázat na SŠ (např. z toho materiálu). Potom pokračovat v dalších metodách.

Na VŠ neučím, tedy úroveň VŠ mohu posoudit z materiálů, co vystavuji, od dcery a kamarádů, z doučování (což je minulost), z toho, co vidím na fóru. Jednoznačně velmi chybí a to se každým rokem prohlubuje, standardní ovládání vzorců pro úpravy, řešení rovnic a nerovnic.

Někde je to už taková ubohost, že školy tomu ani neřeknou předmět Matematika (nebo konkrétní obor matematiky), ale používají krycí názvy typu "Kvantitativní metody".

Dat takový integrál na zkoušce - však je úplně standardní, co do použití metody, vyžaduje trochu pozornosti při úpravě, ale úpravy nezaberou více, než 3 řádky. Neobsahuje v sobě potřebu žádného kreativního přístupu :-)

Určitě vzorové úlohy smysl mají, ale chybí nám k tomu systém ve smyslu doplnění o teoretické předpoklady, vhodné úpravu názvu, uspořádání tématu. Momentálně systém není dořešen a těžko se k tomu budu vyjadřovat. když ani sama do toho nemohu pořádně zapojit.

Máme zde velkou zásobárnu vzorových úloh z prvních let fóra, snad nikoho neurazím, když na 1. pozicí postavím příspěvky kolegy Mariana, ale jasně, ne jen on :-) Je velmi málo, co se protřídilo.

Klávesnice - mám k CZ_EN také ruskou fonetickou, přesně kopíruje rozložení kláves CZ, nevím, zda něco takového je pro slovenskou/českou k anglické. Snad se poptat v ostatním, zda někdo neví.

V každém případě velmi děkuji za podrobné a nestandardní postupy a návody. Za chvilku se vydám do opavských ulic, pohodový den přeji.

vanok · 18. 03. 2012 11:49

↑ jelena:,
Vcera, v tomto prispevku
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=268938#p268938
mi kolega pf
potvrdil, moju intuiciu, ze nejde o bezny priklad, v tomto dokumente
http://mat.fsv.cvut.cz/ma2g/.

Akoze, neboli dalsie reakcie na toto cvicenie, dajme tento post do vzorovych prikladov (Integraly); a ak je to mozne pod menom "Linearizacia trigonometrickych vyrazov".

jelena · 18. 03. 2012 14:17

↑ vanok:

Děkuji za informaci. Téma jsem zatím zamkla, jelikož si potřebuji udělat jasno, jak se postavíme ke kompletnímu řešení úlohy, která byla zadána jako bonusové.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bohužel, nemám momentálně čas se teď tomu více věnovat, případnou všeobecnou debatu ke kompletnímu řešení prosím sem. Ale přiměřeně - venku je podle názoru většiny hezky, užijte si toho raději :-) Děkuji.

Jelena.

Matematické Fórum

#1 15. 03. 2012 22:01

integrál

#2 15. 03. 2012 22:15

Re: integrál

#3 15. 03. 2012 22:59

Re: integrál

#4 16. 03. 2012 12:55

Re: integrál

#5 16. 03. 2012 14:08 — Editoval vanok (16. 03. 2012 23:49)

Re: integrál

#6 16. 03. 2012 15:20

Re: integrál

#7 16. 03. 2012 15:21

Re: integrál

#8 16. 03. 2012 15:41 — Editoval vanok (17. 03. 2012 11:46)

Re: integrál

#9 17. 03. 2012 10:07

Re: integrál

#10 17. 03. 2012 11:44

Re: integrál

#11 17. 03. 2012 14:53

Re: integrál

#12 18. 03. 2012 11:49

Re: integrál

#13 18. 03. 2012 14:17

Re: integrál

Zápatí