Matematické Fórum

agnusxx · 18. 03. 2012 18:53

Dobrý večer přeji všem,
Měl bych takový dotaz již kdysi jsem sem daval tento obrázek:

A vím, že jsou zde geniální mozky, které bych chtěl tímto poprosit o to aby se pokusili vypočítat ten spodní příklad, jelikož já na to nemam potřebné znalosti a nevěřím , že výsledek 0 je správný.Berte to jako výzvu
(je to z fyziky ale tohle je matematický záležitost proto to dávám zde)
Předem moc děkuji, :-)

Rumburak

Zdravím.
Ten výsledek opravdu nemá být 0, ale 1 (nutný předpoklad : s > 0). Viz funkce $\Gamma$ (gamma).

agnusxx · 19. 03. 2012 19:13

↑ Rumburak:
Děkuji moc, vidím že jste člověk co o tom asi něco ví, chtěl bych se proto zeptat jako laik, jestli je ten tvar co je tam uvedený konečný nebo by se musel ještě nejak upravit aby se dostala ta jednička ? Mohl by-jste kdyžte naznačit výpočet. Napadá vás k čemu muže ten výpočet sloužit ? nebo neviděl jste jej už někde ?

Díky

Rumburak

↑ agnusxx:
Integrál

(1) $\int_0^{+\infty}x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$ ,

který bývá nazýván Eulerovým integrálem 2. druhu, se nedá "vypočítat" tak, aby byl vyjádřen pomocí známých funkcí a bez použití
infinitesimálních operací (jakou je např. integrál). Integrál (1) je zřejmě funkcí proměnné $s > 0$ a je zvykem ho značit $\Gamma(s)$ .
Dá se ukázat, že hodnoty této funkce jsou nenulové. Rovnost

$\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{+\infty}x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = 1$

je pak pouze triviálním důsledkem toho, že integrál (1) byl označen jako $\Gamma(s)$ .

Definiční obor funkce $\Gamma$ lze ještě podstatně rozšířit. Další informace např. zde .

Těm fyzikálním souvislostem ale bohužel nerozumím, snad někdo z kolegů fyziků bude vědět, o co jde.

agnusxx · 20. 03. 2012 09:06

↑ Rumburak:
Mockrát děkuji, téma ještě nechám otevřené kdyby se někdo z fyziků chtěl k tomu vyjádřit k těm souvislostem co to je, třeba uživatel Pavel Brožek by mohl vědet.

agnusxx · 20. 03. 2012 16:40

↑ Rumburak:
Jo a ještě detail, ty jsi ten tvar už upravil ? protože puvodně je tam $\int_0^{+\infty}\frac{x^{s-1}}{\mathrm{e}^{-x}}\,\mathrm{d}x$ a ty jsi to převedl na $\int_0^{+\infty}x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$
Je to tak ? (pro ujištění)

Rumburak

↑ agnusxx:
Z té fotky jsem to přečetl jako $\int_0^{+\infty}\frac{x^{s-1}}{\mathrm{e}^{x}}\,\mathrm{d}x$ , což je $\int_0^{+\infty}x^{s-1}\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x$ .
Ale teď při pozornějším pohledu mi připadá, že tam je nějaká šmouha, takže to vypadá trochu jako $\int_0^{+\infty}\frac{x^{s-1}}{\mathrm{e}^{x} + 1}\,\mathrm{d}x$ ,
i když ne zcela přesvědčivě.

agnusxx · 20. 03. 2012 16:52

↑ Rumburak:
Ok ještě jednou děkuji.

Pavel Brožek

↑ agnusxx:

Ahoj,

zkoušel jsi hledat podle obrázku na googlu?

Našel jsem tam toto: http://nemlinearis.blog.hu/2011/04/25/r … _vilagvege

Takže se zdá, že ve jmenovateli je skutečně ještě +1, jak píše Rumburak, a že to souvisí s Riemannovou zeta funkcí, jak jsem psal v soukromé zprávě. Bohužel maďarsky neumím, tak další snahu přenechám zatím tobě :-). Kdyby se nedařilo, tak se ozvi.

Edit 1: Ale aby to byla nula pro všechna s je zřejmě nesmysl, protože pro s reálná jde zřejmě o kladnou funkci, její integrál nemůže být nulový. Spíš půjde o rovnici – hledáme s (obecně komplexní) taková, abychom dostali nulu, tj hledáme nulové body funkce $\eta(s)$ . To je pravděpodobně myšleno tím zápisem.

Edit 2: První rovnítko je definice Dirichletovy eta funkce, druhé značí, že hledáme její kořeny. Druhé rovnítko neznačí identitu, ale rovnici pro s.

agnusxx · 21. 03. 2012 05:55

↑ Pavel Brožek:
Uzasne, ohromne Diky :-) jdu na to mrknout, kdyby neco tak se jeste ozvu zatim moc diky.

Matematické Fórum

#1 18. 03. 2012 18:53

Správné vypočítání příkladu

#2 19. 03. 2012 10:21 — Editoval Rumburak (19. 03. 2012 20:55)

Re: Správné vypočítání příkladu

#3 19. 03. 2012 19:13

Re: Správné vypočítání příkladu

#4 19. 03. 2012 21:24 — Editoval Rumburak (19. 03. 2012 22:01)

Re: Správné vypočítání příkladu

#5 20. 03. 2012 09:06

Re: Správné vypočítání příkladu

#6 20. 03. 2012 16:40

Re: Správné vypočítání příkladu

#7 20. 03. 2012 16:51 — Editoval Rumburak (20. 03. 2012 16:57)

Re: Správné vypočítání příkladu

#8 20. 03. 2012 16:52

Re: Správné vypočítání příkladu

#9 20. 03. 2012 23:50 — Editoval Pavel Brožek (21. 03. 2012 01:01)

Re: Správné vypočítání příkladu

#10 21. 03. 2012 05:55

Re: Správné vypočítání příkladu

Zápatí