Matematické Fórum

chef06 · 29. 03. 2012 17:42

Ahoj, nevím si rady s tímto příkladem. Mohl by mě někdo konkrétně poradit, jak spočítat báze? Díky

jardofpr · 29. 03. 2012 21:36

↑ chef06:

ahoj, môžeš to skúsiť podľa tohto Gramova-Schmidtova ortogonalizace

Rumburak

↑ chef06:
Ahoj. Na to se používá Schmidtův resp. Grammův-Schmidtův ortogonalisační proces.

Předpokládejme reálný lin. prostor se skalárním součinem $\langle \cdot , \cdot \rangle$ , jímž je obvyklým způsobem generována norma $\|.\|$ .
Vycházíme z lineárně nezávislého seznamu

(1) $(\vec{u}_1, \vec{u}_2, ... )$

vektorů (může být i nekonečný, pracujeme-li v prostoru nekonečné dimense). Postupujeme rekurentně (indukcí).

1. krok:

Položme $\vec{e}_1 := \frac{\vec{u}_1}{\| \vec{u}_1\|}$ .

Jednoprvkový seznam $(\vec {e}_1)$ pak je jistě ortonormální a platí $\mathrm{Lin}(\vec {e}_1) = \mathrm{Lin}(\vec {u}_1)$ . (Symbolem Lin S je míněn lineární obal
seznamu resp. množiny S.)

2. krok:

Nechť $k \in \{1, 2, 3, ... \}$ je takové, že máme ortonormální seznam $(\vec{e}_1, ... , \vec{e}_k)$ splňující $\mathrm{Lin}(\vec{e}_1, ... , \vec{e}_k)=\mathrm{Lin}(\vec{u}_1, ... , \vec{u}_k)$ .

Pakliže $(\vec{u}_1, ... , \vec{u}_k)$ je již totožný se seznamem (1) , proces je tím ukončen .

V opačném případě položme nejprve $\vec{w}_k := \sum_{j=1}^k \langle \vec{e}_j , \vec{u}_{k+1} \rangle \vec{e}_j$ (což je Fourierův rozvoj prkvu $\vec{u}_{k+1}$ v systému $(\vec{e}_1, ... , \vec{e}_k)$ ) a dále

$\vec{e}_{k+1} := \frac {\vec{u}_{k+1} - \vec{w}_k}{\|\vec{u}_{k+1} - \vec{w}_k\|}$ .

Nenulovost vektoru $\vec{u}_{k+1} - \vec{w}_k$ plyne z lineární nezávislosti seznamu $(\vec{e}_1, ... , \vec{e}_k, \vec{u}_{k+1})$ . Že $\|\vec{e}_{k+1}\| = 1$ , je zřejmé.
Pro $n \in \{1, ..., k\}$ pak dostáváme

(2) $\langle \vec{e}_n, \vec{u}_{k+1} - \vec{w}_k\rangle = \langle \vec{e}_n, \vec{u}_{k+1}\rangle - \langle \vec{e}_n, \vec{w}_k\rangle = 0$ ,

protože

$\langle \vec{e}_n, \vec{w}_k\rangle = \langle \vec{e}_n, \sum_{j=1}^k \langle \vec{e}_j , \vec{u}_{k+1} \rangle \vec{e}_j \rangle = \sum_{j=1}^k \langle \vec{e}_j , \vec{u}_{k+1} \rangle \langle \vec{e}_n , \vec{e}_j \rangle = \sum_{j=1}^k \langle \vec{e}_j , \vec{u}_{k+1} \rangle \delta_{n,j} = \langle \vec{e}_n , \vec{u}_{k+1} \rangle$ .

Z (2) pak vyplývá $\langle \vec{e}_n, \vec{e}_{k+1}\rangle = 0$ . Takže i rozšířený seznam $(\vec{e}_1, ... , \vec{e}_{k+1})$ je ortonormální.

Rovnost $\mathrm{Lin}(\vec{e}_1, ... , \vec{e}_{k+1})=\mathrm{Lin}(\vec{u}_1, ... , \vec{u}_{k+1})$ je snadno patrná.

PS. Sám jsem se potřeboval ujistit, že je pravda, co píši, takže metodu máš nakonec i s důkazem :-). V praxi Tvé úlohy to ale asi nebude příjemné počítání.

Andrejka3 · 29. 03. 2012 22:50

↑ Rumburak:
Chtěla bych se zeptat, zda bude výhodné si nejdřív vzít jinou bazi podprostoru, třeba je nějaká hezčí s více nulami...(?) Nebo to nijak nepomůže?

Rumburak · 29. 03. 2012 23:00

↑ Andrejka3:
No když nám stačí, aby shodnost lineárních obalů $\mathrm{Lin}(\vec{e}_1, ... , \vec{e}_k)=\mathrm{Lin}(\vec{u}_1, ... , \vec{u}_k)$ platila až "ve finále",
pak samozřejmě můžeme tu výchozí bázi pozměnit do příjemnější formy - například pomocí GEM.

Dobrá připomínka :-) .

Matematické Fórum

#1 29. 03. 2012 17:42

Vektorový podprostor, nevím jak vytvořit báze

#2 29. 03. 2012 21:36

Re: Vektorový podprostor, nevím jak vytvořit báze

#3 29. 03. 2012 22:48 — Editoval Rumburak (31. 03. 2012 14:54)

Re: Vektorový podprostor, nevím jak vytvořit báze

#4 29. 03. 2012 22:50

Re: Vektorový podprostor, nevím jak vytvořit báze

#5 29. 03. 2012 23:00

Re: Vektorový podprostor, nevím jak vytvořit báze

Zápatí