Matematické Fórum

vilek · 29. 05. 2012 13:33

Zdravím, mám zjistit, jestli má funkce $f(x,y)=(x-y^{2})\cdot (2x-y^{2})$ extrém v bodě (0,0). Začala jsem tím, že jsem určila gradient, položila ho rovný nule a zjistila, že bod (0,0) je bodem stacionárním. Spočítala jsem tedy druhé derivace: $f_{xx}=4,f_{xy}=f_{yx}=-6y,f_{yy}=12y^{2}-6x$ , dosadila bod (0,0) a sestavila Hessovu matici. Z ní jsem určila vlastní čísla 0 a 4. Podle vlastních čísel tedy nemůžu rozhodnout. Determinant matice je také nulový, takže ani tudy cesta nevede..
Pak jsem počítala druhý diferenciál: $d^{2}f((0,0),(h_{1},h_{2}))=4h_{1}^{2}+0h_{1}h_{2}+0h_{2}h_{1}+0h_{2}^{2}$ Podle toho už jde o něčem rozhodnout nebo je to pořád málo? Nebo se to ještě řeší nějak pomocí vlastních vektorů? Tady už si nejsem příliš jistá postupem..
Děkuji za jakoukoli pomoc..

Honzc · 29. 05. 2012 13:55

↑ vilek:
Podívej se Sem, tam máš napsáno jak se postupuje zjišťování l.extrémů
(heslo Hessián)

vilek · 29. 05. 2012 13:59

↑ Honzc:
Nj, jenže já řeším, co dělat, když je právě ten Hessián nulový a to tam rozepsáno už není..nějak se přece musí jít dobrat výsledku..

Rumburak

↑ vilek:
Zdravím.

Zde pomůže vyšetřit průběh funkce f podél různých křivek procházejících počátkem. Pro různá reálná $a$ definujme křivky $k_a$
rovnicemi $k_a : x = ay^2$ . Když z těchto rovnic dosadíme do $f(x,y)=(x-y^{2})\cdot (2x-y^{2})$ , dostaneme funkce

$g_a(y) = f(ay^2, y) =(ay^2-y^{2})\cdot (2 ay^2-y^{2}) = (a-1)(2a-1)y^4$ .

Na volbě hodnoty parametru $a$ bude záviset, zda jednotlivé funkce $g_a$ budou mít v bodě y = 0 extrém a jakého druhu. Odtud
odvodíme verdikt o oxtrému funkce f(x,y) v počátku (bude negativní).

vilek · 29. 05. 2012 19:52

↑ Rumburak:
Takže stačí najít taková a, že jednou vyjde hodnota funkce záporná a jednou kladná a můžu tvrdit, že v bodě (0,0) není extrém? Nebo je v tom ještě nějaká úprava?

Rumburak

↑ vilek:

Podrobněji takto:

Hodnota $h_c(0) = 0$ funkce $h_c(y) := cy^4$ je jejím minimem pro $c>0$ resp. maximem pro $c<0$ . Tuto úvahu nyní aplikujme na funkce

$g_a(y) = f(ay^2, y) =(ay^2-y^{2})\cdot (2 ay^2-y^{2}) = (a-1)(2a-1)y^4$ :

pro $a = 0$ je $g_0(y) = y^4$ , tato funkce nabývá v 0 svého minima (jehož hodnotou je 0) a tedy i funkce $G_0(x, y)$ vzniklá zúžením funkce $f(x, y)$
na křivku $k_0 : x = 0y^2 =0$ (tj. přímku) nabývá v bodě [0, 0] svého minima ,

analogicky pro $a = \frac{3}{4}$ je $g_{\frac{3}{4}}(y) = - \frac{1}{8}\,y^4$ , tato funkce nabývá v 0 svého maxima (jehož hodnotou je 0) a tedy i funkce $G_{\frac{3}{4}}(x, y)$ vzniklá zúžením
funkce $f(x, y)$ na křivku $k_{\frac{3}{4}} : x = \frac{3}{4} y^2$ nabývá v bodě [0, 0] svého maxima.

Odtud je zřejmý závěr, že funkce $f(x, y)$ nemá v bodě [0, 0] lokální extrém.