Matematické Fórum

jukl.m · 31. 05. 2012 10:33

Zdravím,
chtěla bych se zeptat, zda existuje obecný postup, jak řešit limity, resp. zda tento je správný:

- Zkouším dosadit, pokud mi vyjde limita "K/0", kde K je reálné číslo, tak pokračuji počítáním limit zleva a zprava.

- Pokud mi vyjde limita "0/0", snažím se limitu nejdříve upravit nějakým vytýkáním apod., popř. použiju L'Hosp.

- Pokud mi vyjde "nekonečno/nekonečno", tak vytýkám nejvyšší mocniny, popř. použiju L'Hosp.

Může takto znít obecný postup pro počítání s limitami?
Díky.

user · 31. 05. 2012 11:56

V hrubém náznaku určitě, pro úplnost dodám, že k L'Hospitalovi stačí aby při podílu funkcí g(x)/f(x) byla limita f(x), g(x) nemusí.
Další nepříjemnost, na kterou můžeš narazit je výraz "nekonečno"-"nekonečno", který může jít převést na předchozí případy vhodnými úpravami.

Bati · 31. 05. 2012 11:57

Zdravím,

není to vždy tak jednoduché. Teoreticky by sice měly jít všechny výrazy, do kterých nemůžeme přímo dosadit, převést na nějaký zlomek, kde se dá použít l'Hospitalovo pravidlo, ale tento postup může být extrémně zdlouhavý a neprůhledný. Místo toho bývá velmi výhodné použít větu o limitě složené funkce, která není výše zmíněna. Pro ilustraci, doporučuji si vypočítat např. tuto limitu:
$\lim_{x\rightarrow0_+}\frac{(1+\sin x)^{1-\cos x}-1}{x^3}$

Nebo také může být nutné použít nějaký odhad funkce v limitě a pak např. větu o 2 strážnících. Viz. třeba tento příklad:
$\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[x]{a^x+b^x+c^x}\quad a,b,c>0$

A nakonec, pokud počítáme s posloupnostmi, můžeme mít v zadání celočíselné funkce, speciálně faktoriál, kde nám l'H. pravidlo nepomůže a často musíme použít nějaký speciální trik. Viz. např.:
$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$

user · 31. 05. 2012 13:06

Ještě dodám k funkcím, i když se podaří výraz upravit na použití L'Hospitala, neznamená to automaticky, že bude fungovat.
Např.
$\lim_{x\to+\infty }\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$

Cynyc · 31. 05. 2012 13:30 — Editoval Cynyc (31. 05. 2012 13:31)

↑ jukl.m: To je přílišné zjednodušení. Jednak nepočítáte s dalšími nedefinovanými výrazy (uvádíte jen $\frac{K}{0}$ a $\frac{\infty}{\infty}$ , kromě toho jsou $\infty-\infty$ , $0\cdot\infty$ , $\infty^0$ , $0^0$ a $1^\infty$ ), spoléháte na L'Hospitala, kterým řada limit vyřešit nejde buď vůbec nebo velmi obtížně, a vůbec neuvádíte techniky pro limity obsahující podvýraz, který nemá limitu. Limity se prostě do tak jednoduchého algoritmu vtěsnat nedají. Pro základní seznámení s metodami výpočtu limit doporučuji http://wiki.matweb.cz/index.php/Rychlok … mit_funkcí , cokoli jednoduššího za algoritmus výpočtu limit nelze vůbec považovat. I tento text je ovšem značně jednoduchý a nepostihuje problematiku výpočtu limit elementárních funkcí jedné proměnné ani v celé šířce, natož hloubce.

vanok · 31. 05. 2012 13:34

Ahoj,
Tu mas dalsi priklad limity,
$\lim_{x\rightarrow 0^+}$\frac{a^x+b^x}2 $^{\frac 1 x}$ kde $a; b >0$ .
Co myslis, ze treba pouzit na jej riesenie?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

check_drummer · 01. 06. 2012 18:48

↑ vanok:
Ahoj. Pěkné zobecněné řešení je zde:
http://en.wikipedia.org/wiki/Generalize … as_a_limit

vanok · 02. 06. 2012 12:44

↑ check_drummer:
Ahoj,
pekna metoda.... ja som to riesil vdaka Talyorov-ych rozvojom.

Cynyc · 02. 06. 2012 14:58

↑ vanok: Řešení Taylorem je sice univerzální, ale ne vždy algebraicky nejjednodušší, a především ne vždy povolené (např. pokud se takové limity řeší ještě před tím, než se proberou derivace, nebo pokud se Taylor neprobírá vůbec). Protože diskutovanou limitu lze vyřešit pomocí standardní limity ln(1+x)/x pro x->1, považuji tady Taylora za kanón na vrabce.

vanok · 02. 06. 2012 16:34

↑ Cynyc:
kazda metoda ma svoje vyhody a nevyhody.
Napis tvoje riesenie, zaujima ma.
Potom ti dam moje.
Co sa tyka kolegoveho riesenia je ozaj pekne, ↑ check_drummer: ... ale malo kolegov by ho nasli ak by na to mali 5 minut.

Matematické Fórum

#1 31. 05. 2012 10:33

Obecný postup řešení limit

#2 31. 05. 2012 11:56

Re: Obecný postup řešení limit

#3 31. 05. 2012 11:57

Re: Obecný postup řešení limit

#4 31. 05. 2012 13:06

Re: Obecný postup řešení limit

#5 31. 05. 2012 13:30 — Editoval Cynyc (31. 05. 2012 13:31)

Re: Obecný postup řešení limit

#6 31. 05. 2012 13:34

Re: Obecný postup řešení limit

#7 01. 06. 2012 18:48

Re: Obecný postup řešení limit

#8 02. 06. 2012 12:44

Re: Obecný postup řešení limit

#9 02. 06. 2012 14:58

Re: Obecný postup řešení limit

#10 02. 06. 2012 16:34

Re: Obecný postup řešení limit

Zápatí