Matematické Fórum

niko9 · 05. 06. 2012 09:04

Pro která a je výraz roven −1?
$(\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{1-a}{\sqrt{1-a^{2}}-1+a})(\sqrt{\frac{1}{a^{2}}-1}-\frac{1}{a}$

výsledek by měl být a ∈ {−1} ∪ (0, 1), ale nevím jak se k tomu dostat.

díky za pomoc

Hanis · 05. 06. 2012 13:41

Ahoj.
Výraz položíš roven -1 a řešíš rovnici.
Pozor na podmínky

niko9 · 07. 06. 2012 08:56

↑ Hanis:

to vím, ale za boha se nemůžu dobrat k nějakému výsledku..nevíte někdo jak řešit tento typ příkladu ??

zdenek1 · 07. 06. 2012 10:02

↑ niko9:
dlouhou pečlivou a trpělivou prací
nejdřív si určíš podmínky $a\in\langle-1;0)\cup(0;1\rangle$
pak si zjednodušíš první zlomek
$\frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}=\frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}\cdot \frac{\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}}=\frac{1+a+\sqrt{1-a^2}}{2a}$

Nyní vypočítáš první závorku
$\frac{1+a+\sqrt{1-a^2}}{2a}+\frac{1-a}{\sqrt{1-a^2}-1+a}=\frac{(\sqrt{1-a^2}+a)^2-1+2a(1-a)}{2a(\sqrt{1-a^2}-1+a)}=\frac{1-a^2+2a\sqrt{1-a^2}+a^2-1+2a(1-a)}{2a(\sqrt{1-a^2}-1+a)}=$
$\frac{2a(\sqrt{1-a^2}-a+1)}{2a(\sqrt{1-a^2}-1+a)}=\frac{\sqrt{1-a^2}-a+1}{\sqrt{1-a^2}-1+a}$

upravíš si druhou závorku
$\sqrt{\frac{1}{a^2}-1}-\frac{1}{a}=\sqrt{\frac{1-a^2}{a^2}}-\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{1-a^2}}{|a|}-\frac{1}{a}$
a nyní to vynásobíš. Vzhledem k absolutní hodnotě si to rozdělíme na dvě variabty
a) $a\in(0;1\rangle$
$\frac{(\sqrt{1-a^2}-a+1)(\sqrt{1-a^2}-1)}{a(\sqrt{1-a^2}+a-1)}=\frac{1-a^2-a\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-a^2}-\sqrt{1-a^2}+a-1}{a(\sqrt{1-a^2}+a-1)}$
$\frac{-a^2-a\sqrt{1-a^2}+a}{a(\sqrt{1-a^2}+a-1)}=\frac{-a(\sqrt{1-a^2}+a-1)}{a(\sqrt{1-a^2}+a-1)}=-1$

b) $a\in\langle-1;0)$
$-\frac{(\sqrt{1-a^2}-a+1)(\sqrt{1-a^2}+1)}{a(\sqrt{1-a^2}+a-1)}=-\frac{2-a^2-a-a\sqrt{1-a^2}+2\sqrt{1-a^2}}{a(\sqrt{1-a^2}+a-1)}$
tohle už dál nezjednodušíš, takže dojde na řešení rovnice
$-\frac{2-a^2-a-a\sqrt{1-a^2}+2\sqrt{1-a^2}}{a(\sqrt{1-a^2}+a-1)}=-1$
$2-a^2-a-a\sqrt{1-a^2}+2\sqrt{1-a^2}=a(\sqrt{1-a^2}+a-1)$
$2-a^2-a-a\sqrt{1-a^2}+2\sqrt{1-a^2}=a\sqrt{1-a^2}+a^2-a$
$2-2a^2-2a\sqrt{1-a^2}+2\sqrt{1-a^2}=0$
$(1-a)(1+a)+(1-a)\sqrt{1-a^2}=0$
$(1-a)(1+a+\sqrt{1-a^2})=0$
a tohle už dopočítáš

Matematické Fórum

#1 05. 06. 2012 09:04

algebraicke vyrazy

#2 05. 06. 2012 13:41

Re: algebraicke vyrazy

#3 07. 06. 2012 08:56

Re: algebraicke vyrazy

#4 07. 06. 2012 10:02

Re: algebraicke vyrazy

Zápatí