Matematické Fórum

ajeto · 06. 06. 2012 16:47

Dobrý deň,
ak by sa dalo osvetliť nasledovné:

Je daná funkcia $\Phi$ predpisom

$\Phi (x,t)=\int_{\alpha (x)}^{\beta (t)}\gamma (x,y,t) \mathrm{d}y$

nájdite

$\frac{\partial \,\Phi (x,t)}{\partial \,x }$ a $\frac{\partial \,\Phi (x,t)}{\partial \,t }$

potom vypočítajte

$\frac{\partial^2\,\Psi (x,t)}{\partial \,x^2 }$ a $\frac{\partial^2\,\Psi (x,t)}{\partial \,t^2 }$

kde

$\Psi (x,t) = \int_{0}^{f(t)}\int_{g(x,t)}^{h(x,t)} \Phi (z,s)\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}s$

popravde som mimo

kaja.marik · 06. 06. 2012 19:32

zkuste si najit vetu o derivovani integralu zavislych na parametru. Byla na toto tema diplomka nebo bakalarka na MU. Autora si napamatuju, ale vedouci byl asi prof. Dosly.

ajeto · 06. 06. 2012 22:56

vďaka ↑ kaja.marik: za nasmerovanie

nie je to veľmi ľahké čítanie (našiel som o tom inú literatúru než spomínanú prácu)

z toho čo som našiel to vyzerá že by mohlo byť

$\frac{\partial \,\Phi (x,t)}{\partial \,x }=-\gamma (x,\alpha (x),t)\cdot \frac{\mathrm{d}\,\alpha (x)}{\mathrm{d}x}+\int_{\alpha (x)}^{\beta(t)}\frac{\partial \,\gamma (x,y,t)}{\partial \,x}\,\mathrm{d}y$

a

$\frac{\partial \,\Phi (x,t)}{\partial \,t }=\gamma (x,\beta (t),t)\cdot\frac{\mathrm{d}\,\beta (t)}{\mathrm{d}t}+\int_{\alpha (x)}^{\beta (t)}\frac{\partial \,\gamma (x,y,t)}{\partial \,t}\,\mathrm{d}y$

?

lukaszh

↑ ajeto:

Ja som tieto veci vždy rátal z definície.

$\Phi_t(x,t):=\lim_{\tau\to0}\frac{\Phi(x,t+\tau)-\Phi(x,t)}{\tau}=\lim_{\tau\to0}\frac{1}{\tau}\left[\int_{\alpha(x)}^{\beta(t+\tau)}\gamma(x,y,t+\tau)dy-\int_{\alpha(x)}^{\beta(t)}\gamma(x,y,t)dy\right]$

Vieme si pomocou Lagrangeovej vety prepísať
$\beta(t+\tau)=\beta(t)+\beta_t(\theta)\tau,\quad\theta\in(t,t+\tau)$

Potom môžeme upraviť integrál
$\int_{\alpha(x)}^{\beta(t)+\beta_t(\theta)\tau}\gamma(x,y,t+\tau)dy=\int_{\alpha(x)}^{\beta(t)}\gamma(x,y,t+\tau)dy+\int_{\beta(t)}^{\beta(t)+\beta_t(\theta)\tau}\gamma(x,y,t+\tau)dy$

Dosadíme, upravíme:

Ešte treba dopočítať, čomu sa rovná posledná limita. Podľa istej integrálnej vety o strednej hodnote máme
$\frac{1}{\tau}\int_{\beta(t)}^{\beta(t)+\beta_t(\theta)\tau}\gamma(x,y,t+\tau)dy=\frac{1}{\tau}\left[\beta_t(\theta)\tau\gamma(x,\xi,t+\tau)\right]=\beta_t(\theta)\gamma(x,\xi,t+\tau),\quad \xi\in(\beta(t),\beta(t)+\tau\beta_t(\theta))$

Ak $\tau\to0$ , potom $\theta\to t$ a $\xi\to\beta(t)$ . Zrejme je potom
$\Phi_t(x,t)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(t)}\gamma_t(x,y,t)dy+\beta_t(t)\gamma(x,\beta(t),t)$

Rumburak

↑ ajeto:

Zdravím . Podívej se na to následovně:

$\Phi (x,t)=\int_{\alpha (x)}^{\beta (t)}\gamma (x,y,t)\, \mathrm{d}y = F(x, t ,\alpha(x), \beta(t))$ , kde $F(x, t, u, v)=\int_{u}^{v}\gamma (x,y, t)\, \mathrm{d}y$ .

Pak použij věty o derivaci

- složené funkce (obecně více proměnných) (Jarník D2),
- integrálu podle horní / dolní meze (Jarník I2),
- inregrálu podle parametru v integrandu (Jarník I2).

Toto ↑ ajeto: je podle mne dobře, pakliže jsou splněny patřičné předpoklady pro použití těch vět.

ajeto · 08. 06. 2012 12:16 — Editoval ajeto (08. 06. 2012 12:28)

↑ Rumburak:

áno, zabudol som napísať že sa predpokladá potrebná hladkosť všetkých vystupujúcich funkcií
našiel som vetu ktorej predpoklady sú s prispením tohto faktu splnené a je tam vzťah
že pre funkciu

$F(y)=\int_{\phi (y)}^{\psi (y)}f(x,y)\,\mathrm{d}x$ kde $x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}$

platí vzťah

$\frac{\mathrm{d}F(y)}{\mathrm{d}y}=f(\psi (y)\,,\,y)\cdot \frac{\mathrm{d} \psi (y)}{\mathrm{d}y}-f(\phi (y)\,,\,y)\cdot \frac{\mathrm{d}\phi (y)}{\mathrm{d}y}+\int_{\phi (y)}^{\psi (y)} \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\mathrm{d}x$

viem že v mojej funkcii pod integrálom je viac premenných, ale nenašiel som technicky nič pri čítaní jej dôkazu čo by mi zabránilo
použiť vetu v tomto príklade, takže som to počítal podľa nej

s tými ďalšími integrálmi som si zatiaľ neporadil, už prvé derivácie sa mi zdajú komplikované alebo postupujem nesprávne

podľa ↑ Rumburak: teda môžem prepísať

$\Phi (z,s)$ pod integrálom ako $F(z,s,\alpha(z),\beta (s))$ a tak počítať druhé derivácie?
(s tým že keď budem potrebovať deriváciu $F$ tak sa vrátim k tomu vzťahu s integrálom?)

↑ lukaszh:
vďaka za ďalší návrh postupu,
príde mi ale po jeho preštudovaní, že by sa toto dalo lepšie použiť v prípade keď nemôžem použiť vyššie uvedenú vetu a v nej obsiahnutý vzťah
nakoľko tých viet tam treba poznať viac, hoci sú to pravdepodobne elementárnejšie nástroje

Rumburak

↑ ajeto:

Pokud dobře rozumím otázce, tak ano. Je-li

$\Phi (x,t)=\int_{\alpha (x)}^{\beta (t)}\gamma (x,y,t)\, \mathrm{d}y = F(x, t ,\alpha(x), \beta(t))$ , $F(x, t, u, v)=\int_{u}^{v}\gamma (x,y, t)\, \mathrm{d}y$ ,

potom podle věty o derivaci složené funkce je

$\Phi_t (x,t) =\Phi (x,t)_t= F_{|2}(x, t ,\alpha(x), \beta(t)) + F_{|4}(x, t ,\alpha(x), \beta(t))\cdot\beta'(t)$

(vpravo jsem použil symboliku Sikorského : $F_{|i}( x_1\, , \,x_2 \,, \dots , \, x_n )$ je derivace podle $x_i$ , tj. i-té proměnné počítáno od 1 zleva) a dále

$\Phi_{tt}(x,t) =\Phi_t (x,t)_t= F_{|2}(x, t ,\alpha(x), \beta(t))_t + \left(F_{|4}(x, t ,\alpha(x), \beta(t))\cdot\beta'(t)\right)_t$ ,

kde

$F_{|2}(x, t ,\alpha(x), \beta(t))_t = F_{|2|2}(x, t ,\alpha(x), \beta(t)) + F_{|2|4}(x, t ,\alpha(x), \beta(t))\cdot\beta'(t)$ ,

$\left(F_{|4}(x, t ,\alpha(x), \beta(t))\cdot\beta'(t)\right)_t = (F_{|4}(x, t ,\alpha(x), \beta(t))_t\cdot \beta'(t) + F_{|4}(x, t ,\alpha(x), \beta(t))\cdot\beta''(t) = \\= F_{|4|2}(x, t ,\alpha(x), \beta(t))\cdot\beta'(t) + F_{|4|4}(x, t ,\alpha(x), \beta(t))\cdot(\beta'(t))^2 + \\+ F_{|4}(x, t ,\alpha(x), \beta(t))\cdot\beta''(t)$

(doufám, že jsem se v tom výpočtu nesekl) a pod.

Do tohoto a dalších podobných schemat pak už jen dosadíme extra spočítané parc. derivace $F_{|i|j|k...}$ .

Derivování funkce $\Psi (x,t) = \int_{0}^{f(t)}\int_{g(x,t)}^{h(x,t)} \Phi (z,s)\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}s$ by mělo fungovat na stejném principu, pouze to asi bude složitější.

ajeto · 08. 06. 2012 15:15

↑ Rumburak:

dobre skúsim to takto, a keď budem hotový, napíšem to sem pre kontrolu výsledku alebo
upozornenie na chyby ..

teda, ešte ma napadlo, podľa tejto schémy môžem potom teda rovnako dobre pracovať s novou funkciou $G$ nasledovne

$\int_{g(x,t)}^{h(x,t)} \Phi (z,s)\,\mathrm{d}z=\int_{g(x,t)}^{h(x,t)}F(z,s,\alpha(z),\beta(s))\,\mathrm{d}z=:$

$=: G(\,h(x,t)\,,\,g(x,t)\,,\,s\,,\,\alpha (h(x,t))\,,\,\alpha (g(x,t))\,,\,\beta (s))$ atď ?

Rumburak · 08. 06. 2012 15:34

↑ ajeto:
Toto je situace ještě o něci složitější a musím říci, že si nejsem jist, zda ten integrál závisí přímo na hodnotách $\alpha (h(x,t))\,,\,\alpha (g(x,t))$ .
Raději bych je z definičního oboru fce G vypustil - při vyjádření derivace integrálu podle t nebo x se tam beztak dostanou.

ajeto · 08. 06. 2012 22:19

↑ Rumburak:

asi viem čo myslíte

každopádne tu je prvý pokus využívajúc vyššie spomenuté vety

$\frac{\partial \,\Psi (x,t)}{\partial \,t}=\Big( \int_{g(x,t)}^{h(x,t)}\Phi (z,f(t))\,\mathrm{d}z\Big)\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}+\int_{0}^{f(t)}\Big(\frac{\partial}{\partial \,t}\int_{g(x,t)}^{h(x,t)}\Phi (z,s)\,\mathrm{d}z\Big)\mathrm{d}s$

ďalej

$\frac{\partial}{\partial \,t}\int_{g(x,t)}^{h(x,t)}\Phi (z,s)\,\mathrm{d}z=\Phi (h(x,t),s)\frac{\partial\,h(x,t)}{\partial\,t}-\Phi (g(x,t),s)\frac{\partial \,g(x,t)}{\partial\,t}$

malo by byť teda

$\frac{\partial\,\Psi (x,t)}{\partial\,t}=D_1(x,t)+D_2(x,t)+D_3(x,t)$

kde

$D_1(x,t):= \Big( \int_{g(x,t)}^{h(x,t)}\Phi (z,f(t))\,\mathrm{d}z\Big)\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}$
$D_2(x,t):=\int_{0}^{f(t)}\Phi (h(x,t),s)\,\frac{\partial\,h(x,t)}{\partial\,t}\,\mathrm{d}s$
$D_3(x,t):=-\int_{0}^{f(t)}\Phi (g(x,t),s)\,\frac{\partial\,g(x,t)}{\partial\,t}\,\mathrm{d}s$

potom

$\frac{\partial^2 \,\Psi(x,t)}{\partial\,t^2 }=\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial }{\partial \,t} D_i(x,t)$

načrtnem ešte svoj výpočet $\frac{\partial}{\partial \,t}D_1(x,t)$

ak bude všetko v tomto príspevku v poriadku, zrejme to už ďalej potom zvládnem

$\frac{\partial}{\partial \,t}D_1(x,t)=\frac{\mathrm{d}^2f(t)}{\mathrm{d}t^2}\cdot\int_{g(x,t)}^{h(x,t)}\Phi(z,f(t))\,\mathrm{d}z+\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\cdot \Big(\frac{\partial}{\partial\,t} \int_{g(x,t)}^{h(x,t)}\Phi(z,f(t))\,\mathrm{d}z\Big)$

chýba len dopočítať zátvorku-deriváciu integrálu

$\frac{\partial}{\partial\,t}\int_{g(x,t)}^{h(x,t)}\Phi(z,f(t))\,\mathrm{d}z=$
$=\Phi(h(x,t),f(t))\cdot\frac{\partial \,h(x,t)}{\partial\,t}-\Phi(g(x,t),f(t))\cdot\frac{\partial\,g(x,t)}{\partial\,t}+\int_{g(x,t)}^{h(x,t)}\Big[\frac{\partial}{\partial\,t}\,\Phi(z,f(t))\Big]\,\mathrm{d}z$

tu ostáva len dopočítať hranatú zátvorku

$\frac{\partial}{\partial\,t}\,\Phi(z,f(t))=\frac{\partial}{\partial\,t}\int_{\alpha(z)}^{\beta(f(t))}\gamma(z,y,f(t))\,\mathrm{d}y=$
$=\gamma(z,\beta(f(t)),f(t))\cdot\frac{\mathrm{d}\beta(f(t))}{\mathrm{d}f(t)}\cdot\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}+\int_{\alpha(z)}^{\beta(f(t))}\Big(\frac{\partial\,\gamma(z,y,f(t))}{\partial\,f(t)}\cdot\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\Big)\,\mathrm{d}y$

a už len spätne dosadiť
môže byť?

Rumburak · 11. 06. 2012 11:09

↑ ajeto:
Připadá mi to správně, ale takto složitá úloha je silně nepřehledná, takže nevím, zda mé kontrole něco neuteklo.

Proboha, na které škole se takovéto úlohy řeší ?

Nevím, jaké bylo zadání, zda jen mechanicky zderivovat nebo i zformulovat podmínky, kdy je to korektní. Prvořadou podmínkou je, aby funkce,
kterou se pokoušíme v určitém bodě derivovat, byla v okolí tohoto bodu definována. Je-li toto splněno, potom

- platnost vzorce

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}b}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = f(b)$

je zaručena spojitostí fce $f$ v bodě $b$ ,

- platnost vzorce

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_a^b f(x, t)\,\mathrm{d}x = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial t}(x, t)\,\mathrm{d}x$ ,

je zaruřena například tehdy, když funkce $\left|\frac{\partial f}{\partial t}(x, t)\right|$ má na uzavřeném intervalu $[a, b]$ , přes který probíhá integrace, majorantu $g(x)$
nezávislou na $t$ , z níž integrál přes interval $[a, b]$ má konečnou hodnotu.

ajeto · 12. 06. 2012 11:12

↑ Rumburak:

išlo o mechanické derivovanie,
ale nie je na škodu vedieť aj kedy si to môžme dovoliť,
takže podmienky ktoré uvádzate si ešte nechám prejsť hlavou

príklad je zo skúšky na matfyze v Bratislave
teda, musím povedať že je to mierne zovšeobecnená verzia
funkcie $g,h$ boli pôvodne dané a lineárne v oboch premenných $x,t$
teda pôvodná úloha bola určite o dosť jednoduchšia

každopádne ďakujem za váš čas :)

Matematické Fórum

#1 06. 06. 2012 16:47

derivácia funkcie danej integrálom

#2 06. 06. 2012 19:32

Re: derivácia funkcie danej integrálom

#3 06. 06. 2012 22:56

Re: derivácia funkcie danej integrálom

#4 07. 06. 2012 02:43 — Editoval lukaszh (07. 06. 2012 02:44)

Re: derivácia funkcie danej integrálom

#5 07. 06. 2012 13:42 — Editoval Rumburak (08. 06. 2012 10:31)

Re: derivácia funkcie danej integrálom

#6 08. 06. 2012 12:16 — Editoval ajeto (08. 06. 2012 12:28)

Re: derivácia funkcie danej integrálom

#7 08. 06. 2012 14:32 — Editoval Rumburak (08. 06. 2012 15:04)

Re: derivácia funkcie danej integrálom

#8 08. 06. 2012 15:15

Re: derivácia funkcie danej integrálom

#9 08. 06. 2012 15:34

Re: derivácia funkcie danej integrálom

#10 08. 06. 2012 22:19

Re: derivácia funkcie danej integrálom

#11 11. 06. 2012 11:09

Re: derivácia funkcie danej integrálom

#12 12. 06. 2012 11:12

Re: derivácia funkcie danej integrálom

Zápatí