Matematické Fórum

sandrina · 07. 06. 2012 16:17

Ahoj, mohli byste mi prosím někdo vysvětlit jak na následující dva příklady. První je na logaritmické nerovnice a druhý příklad je na goniometrickou rovnici. U obou příkladů nevím ani jak začít. Pokud by se našel někdo, kdo by mi mohl vysvětlit jak na příklady tohoto typu, tak budu vděčná! Předem děkuju :)

1) V množině reálných čísel R řešte nerovnici log5 x < 2.

2) Na intervalu $\langle\frac{\pi }{2},\frac{3}{2}\pi \rangle$ řešte goniometrickou rovnici $2\sin x=-\sqrt{3}$

cyrano52

Ahoj,

1) Tu 2 na pravé straně je třeba převést na logaritmus se stejným základem, jako je na levé straně, pak "odstranit" logaritmy. Přitom je třeba dávat pozor na základ, pokud by byl menší než 1, otáčí se znaménka, v tomto případě to tak není :)

2) Rovnici je třeba vydělit 2, stanovit $x_{0}$ a vyřešit ji ve 3. kvadrantu dle zadání :)

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ je tabulková hodnota.

sandrina · 09. 06. 2012 11:31

Děkuju za radu, ale stále na to nemůžu přijít. Předpokládám, že mi chybí naprosto základy v této oblasti :( Mohl by si mi prosim nejak rozepsat postup a pripadne to i nejak vysvetlit proc a jak ? Dekuju moc.

cyrano52

↑ sandrina:

1) $2=\log_{5}25$ Je to proto, že: $\log_{a}x=y$ , kde $x=a^{y}$ . Odtud tedy $5^{2}=25$ .

Co se týče nerovnice, postupujeme takto:

$\log_{5}x<\log_{5}25$

Teď odlogaritmujeme, tedy "odstraníme" log, a dáváme si pozor na základ. Pokud je základ menší než 1, otáčí se znaménka. Proč tomu tak je, nedokážu erudovaně vysvětlit, snad kolegové :). Takže nám zbyde:

$x<25$ , což je jednoduchá nerovnice :). Samozřejmě nesmíme zapomenout na podmínky, tedy $x>0$ .

2) Tady vydělíme rovnici 2, tedy:

$\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Teď budeme hledat hodnotu proměnné x, kterou si obecně označíme jako $x_{0}$ . Hodnotu $\frac{\sqrt{3}}{2}$ nalezneme v tabulce Hodnoty goniometrických funkcí ve středoškolských tabulkách. Je to tedy $\frac{\Pi }{3}$ nebo $60°$ , jak chceš.

Kdybychom neznali informaci, že máme hledat x v intervalu $\langle\frac{\pi }{2},\frac{3}{2}\pi \rangle$ , tak bychom počítali jak ve III., tak ve IV. kvadrantu. To jsme poznali díky mínusku před hodnotou $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Takže teď počítáme ve III. kvadrantu, tedy:

$III.........x_{1}=180°+x_{0}$
$x_{1}=240°$

Anebo to můžeme vyjádřit v radiánech, tedy

$x_{1}=\Pi +\frac{\Pi }{3}$
$x_{1}=\frac{4\Pi }{3}$

Jestli se chceš na něco zeptat, klidně to udělej :)

sandrina

Tak ten první už je mi jasný. Děkuju. V tom druhým se ale pořád ztrácím. Připravuju se na přijímačky a typ toho druhého příkladu se často opakuje, tak bych se to potřebovala naučit. Taky teda budu mít problém asi s tím, že u přijímaček nemůžeme mít tabulky. Není na to nějaká pomůcka, jak si to snadno zapamatovat?

cyrano52 · 11. 06. 2012 11:17

↑ sandrina:
Tak pomůcku neznám, ale pokud máš kvalitní kalkulačku (Casio...), tak jsi v suchu :) A řešili jste ve škole goniometrické rovnice? Případně co ti na tom není jasného? :)

sandrina · 11. 06. 2012 11:43

Okrajově ano. Ale tohle mi nic neříká. Zkusím se do toho ještě ponořit. a pokud by mi to stále nebylo jasné, tak bych se ohlásila o radu, pokud by ti to nevadilo? Jinak mockrát děkuju za snahu mě to naučit :)↑ cyrano52:

cyrano52 · 11. 06. 2012 11:49

↑ sandrina:
Vůbec není zač, klidně sem hoď další příklady, časem se to člověk naučí :)

sandrina

↑ cyrano52: Dobře :) Tak na tenhle typ tu mám ještě: $\langle\frac{\pi }{2};\frac{3}{2}\pi \rangle$ v tomto intervalu řešit gon.rovnici $2 \sin x = -\sqrt{3}$ .

Pokud jsem to pochopila aspoň trochu, tak mi to vyšlo $\frac{7}{6}\pi$

cyrano52 · 11. 06. 2012 13:32

↑ sandrina:

Však to je úplně stejný příklad jako nahoře :D

sandrina · 11. 06. 2012 13:42

↑ cyrano52: Joo :D Omylem jsem opsala znovu ten příklad :D To už je z toho jak se v tom pořád točim dokola. Chtěla jsem napsat tento příklad:

V intervalu $\langle\pi ;2\pi \rangle$ řešte gon. rovnici $2\cos x=1$

A vyslo mi to: $\frac{5}{3}\pi$

cyrano52 · 11. 06. 2012 13:49

↑ sandrina:

No vidíš to, máš to dobře :)

sandrina · 11. 06. 2012 13:50

↑ cyrano52: No HURA :) Mam hold dobreho ucitele :) Diky :) Kdybych nahodou na neco jeste narazila, muzu se prosim ozvat? :) prijimacky delam ve stredu,t ak pak uz dam pokoj :D

cyrano52 · 11. 06. 2012 13:52

↑ sandrina:
Klidně, od toho tu jsme :) Jinak hodně štěstí na přijímačkách ;)

Hanis · 11. 06. 2012 14:37 — Editoval Hanis (11. 06. 2012 17:06)

Vsuvka: proč se otáčí při základu menším než jedna znaménko?

mějme $log_ax$
pro 0<a<1 máme klesající funkci, tedy platí $x_1<x_2 \Leftrightarrow log_a x_1>log_a x_2$

Čím více se pohybujeme po ose x doprava,tím menší hodnoty dostáváme...
No a z ekvivalence výše (která platí pro klesající funkci obecně (místo log_a(x) můžeme psát f(x)) vyplývá, že při odlogaritmování musíme otočit znaménko.

Konec vsuvky, bavte se :-)

cyrano52 · 11. 06. 2012 15:11

↑ Hanis:
Děkujeme, pane profesore :)

jelena · 11. 06. 2012 16:42

↑ cyrano52:

:-) pedagogické kvality kolegy Hanise jsou řádně otestovány.

"Konec vsuvky, bavte se :-)" (skoro (c), mám mezeru po čárce).

Hanis · 11. 06. 2012 17:08

Já už taky :-)
Autorská práva uvolňuji pro nekomerční využití.

Konec vsuvky, bavte se:-)

sandrina · 12. 06. 2012 11:02

↑ cyrano52: Hanis: Díky za dovysvětlení :)

Asi budu potřebovat vysvětlit ještě tyto příklady, takže prosím :) :

1) Určete hodnotu $\sin x$ , jeli $\cos x$ = $-\sqrt{\frac{3}{7}}$ a náleží ( $\frac{\pi }{2}$ ; $\pi$ ).

2) Určete takové x náležící (0; $\frac{\pi }{2}$ ), pro které platí $2\sin ^{2}x - \sqrt{3}\sin x = 0$ .

A teď teda mimo ty goniometrický rovnice, ještě tyto příklady jestli mi můžete nějak vysvětlit, jak na ně:

1) Určete všechna reálná číslá a, b tak, aby pro kvadratickou funkci $F: y = ax^{2} + bx + 1$ platilo $f(3) = 19$ a $f(-2) = -1$ .

2) V množině reálných čísel R řešte exponenciální nerovnici $2^{-x}*\frac{1}{2} < (\frac{1}{8})^{x-\frac{1}{3}}$

Děkuju!

jelena · 12. 06. 2012 11:15

↑ sandrina:

Zdravím,

kolega Hanis k pedagogickým kvalitám má ještě velký smysl pro pořádek. A jistě ocení, že jsem Tebe poučila o pravidlu "jedno téma=jedná úloha" + vlastní nápady.

Tady to zatím zamknu.

----------------
Konec vsuvky, bavte se:-)

zdenek1

↑ sandrina:
1) použiješ $\sin ^2x+\cos ^2x=1$
dosadíš a využiješ toho, že ve druhém kvadrantu je sinus kladný

2) $2\sin ^{2}x - \sqrt{3}\sin x = 0$ normální rovnice
$\sin x(2\sin x-\sqrt{3})=0$
$\sin x=0$ nebo $\sin x=\frac{\sqrt3}2$

3) $F: y = ax^{2} + bx + 1$ , $f(3) = 19$ , $f(-2) = -1$
jen dosadíš - v závorce je $x$ výsledek je $y$
$\begin{cases}19=9a+3b+1\\-1=4a-2b+1 \end{cases}$
a vypočítáš soustavu

4) $2^{-x}*\frac{1}{2} < (\frac{1}{8})^{x-\frac{1}{3}}$
převedeš na stejné základy
$2^{-x-1}<2^{-3(x-\frac13)}$
a porovnáš exponenty
$-x-1<-3\left(x-\frac13\right)$

jelena · 12. 06. 2012 11:23

↑ zdenek1:

:-) no prosím, kolega Zdeněk už se zabavil.

Ty nečteš mé výchovné průpovídky a píšeš do uzamčených témat?

Zdravím :-)

zdenek1 · 12. 06. 2012 11:50

↑ jelena:
Když se podíváš na čas svého příspěvku a mého, tak uvidíš, že zatímco jsi uzavírala téma, já psal příspěvek. Při tom skutečně nečtu - ať výchovné, či jiné - průpovíkdy. :-)

jelena · 12. 06. 2012 14:07

↑ zdenek1:

Děkuji, ale škoda, že nečteš - mám v zásobě takových pěkných výchovných průpovídek :-) Jinak osobně skoro vždy se dívám na náhled na komentář předchůdce a mažu (řekneme "s komentářem").

Tak já tedy téma otevřu, aby kolegyňka mohla poděkovat a případně překopírovat zadání + řešení do dalšího tématu, pokud ještě něco potřebuje konzultovat.

A.slunicko · 12. 06. 2012 16:46

↑ cyrano52:

Ahoj a pokud máš vyjádřit výsledek v intervalu, teda je tam napsané K, tak to bude K= (0;25) ?? Díky, zřejmě se připravuji na stejné přijímačky :D

Matematické Fórum

#1 07. 06. 2012 16:17

logaritmy a goniometricke rovnice

#2 07. 06. 2012 16:23 — Editoval cyrano52 (07. 06. 2012 16:27)

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#3 09. 06. 2012 11:31

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#4 09. 06. 2012 12:50 — Editoval cyrano52 (09. 06. 2012 13:10)

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#5 11. 06. 2012 10:46 — Editoval sandrina (11. 06. 2012 10:48)

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#6 11. 06. 2012 11:17

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#7 11. 06. 2012 11:43

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#8 11. 06. 2012 11:49

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#9 11. 06. 2012 11:58 — Editoval sandrina (11. 06. 2012 12:12)

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#10 11. 06. 2012 13:32

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#11 11. 06. 2012 13:42

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#12 11. 06. 2012 13:49

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#13 11. 06. 2012 13:50

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#14 11. 06. 2012 13:52

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#15 11. 06. 2012 14:37 — Editoval Hanis (11. 06. 2012 17:06)

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#16 11. 06. 2012 15:11

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#17 11. 06. 2012 16:42

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#18 11. 06. 2012 17:08

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#19 12. 06. 2012 11:02

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#20 12. 06. 2012 11:15

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#21 12. 06. 2012 11:17 — Editoval zdenek1 (12. 06. 2012 11:17)

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#22 12. 06. 2012 11:23

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#23 12. 06. 2012 11:50

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#24 12. 06. 2012 14:07

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

#25 12. 06. 2012 16:46

Re: logaritmy a goniometricke rovnice

Zápatí