Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 02. 12. 2009 17:30
Kombinatorika - příklady
Ahoj.
Může mi prosím někdo poradit jak vypočítat tento příklad?
je dán čtverec KLMN. Na každé straně čtverce zvolíme 8 vnitřních bodů
a) určete počet všech trojúhjelníků, jejichž vrcholy leží v daných bodech
b) určete počet všech troj., jejichž vrcholy leží v daných bodech a každé dva vrcholy leží na růzbých stranách
výsledky mají být a) 4736
b)2048
stačí jenom šťouchnout...
já si s tím nevím vůbec rady :(( díky
Offline
#2 02. 12. 2009 17:37
Re: Kombinatorika - příklady
↑ xshreck:
trojúhelníky jsou dvojího typu
a) dva vrcholy na jedné straně a třetí na jedné ze zbývajících
b) každý vrchol na jiné straně.
a) Vyberu stranu, na které jsou dva vrcholy (kolika způsoby?)
na této straně vyberu 2 body (kolika způsoby?)
vyberu stranu na níž je 3. vrchol. (kolika způsoby?)
na této straně vyberu jeden vrchol (kolika způsoby?)
Všechny ty počty způsobů vynásobíš.
Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!
Offline
#4 02. 12. 2009 18:09
Re: Kombinatorika - příklady
↑ xshreck:
Fajn, rád šťouchám
Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!
Offline
#5 13. 06. 2012 23:05 — Editoval KDPK (13. 06. 2012 23:08)
Re: Kombinatorika - příklady
↑ zdenek1:
Ahoj,
chtěla bych poprosit o dolazení při řešení tohoto příkladu (nevím jistě, zda řeším správně), proto otevřu na chvíli starou diskuzi:
ad a) určete počet všech trojúhelníků, jejichž vrcholy leží v daných bodech:
I.
Vyberu stranu, na které jsou dva vrcholy (kolika způsoby?): K(1,4) = 4
na této straně vyberu 2 body (kolika způsoby?): K(2,8) = 28
vyberu stranu na níž je 3. vrchol (kolika způsoby?): K(1,3) = 3
na této straně vyberu jeden vrchol (kolika způsoby?): K(1,8) = 8
celkový součin = 2688 trojúhelníků
(zjišteny tak byly trojúhelníky, jež mají dva body na jedné straně čtverce a třetí bod na jedné ze zbývajících stran čtverce)
II.
K těmto trojúhelníkům je třeba je přičíst všechny trojúhelníky, které mají vrcholy každý na jiné straně čtverce?
(Jinými slovy k I. výpočtu musím ještě přičíst výsledek z b)?
To mi vychází jako 8*8*8*4 = 2048 trojúhelníků, jež mají vrcholy každý na jiné straně čtverce
III.
Výsledek je pak: 2688 + 2048 = 4736?
Řeším to úvahou takto prosím správně? Nějak se mi to nezdá... myslím, že k I. už se nic přičítat nemá a je tam chyba...
Díky velice, K.
Offline
#6 13. 06. 2012 23:54
Re: Kombinatorika - příklady
je tam chyba
Není.
V otázce a) se ptají na všechny trojúhelníky, tj. na tvůj typ I i II. A proto jejich počty musíš sečíst.
V otázce b) už se ptají jen na typ II.
Je to přesně tak, jak jsi to popsala.
Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!
Offline
#7 14. 06. 2012 00:22 — Editoval KDPK (14. 06. 2012 00:24)
Re: Kombinatorika - příklady
Moc díky!
Vážou se mi k tomu prosím ještě dvě nejasnosti, pak dám už pokoj:
ad a) v učebnici řeší dle výsledku jiným postupem přes cestu K(3,4n) - 4*K(3,n)
tzn. K(3, 4*8) - 4*K(3,8)
nerozumím, co odečítají... ???
ad b) řeším úvahou 8*8*8*4
nerozumím, proč mi výsledek ale nevychází pokud postupuji dle podobné úvahy jako jsi Ty řešil a) tzn.
Vyberu stranu, na které je 1 vrchol: K(1,4)
Na této straně vyberu 1 bod: K(1,8)
Vyberu stranu, na níž je 2. vrchol: K(1,3)
Na této 2. straně vyberu jeden vrchol: K(1,8)
Vyberu stranu, na níž je 3. vrchol: K(1,2)
Na této 3. straně vyberu jeden vrchol: K(1,8)
Součin mi ale vychází pak jinak než 8*8*8*4
Netuším, zda je chyba v úvaze, nebo v zápise kombinací?
Velmi by mě to zajímalo, protože řešení přes postupné úvahy mi přijde geniálně transparentní...
Díky, K.
Offline
#8 14. 06. 2012 08:35
Re: Kombinatorika - příklady
↑ KDPK:
Vybírají 3 body ze všech bodů - 4*8 - které mají. A pak odečtou situace, kdy všechny body ležely na jedné straně (3 z osmi) a strany jsou 4, protože tyto netvoří trojúhelník.
U druhé otázky je chyba v úvaze. Ty totiž nevíš, který vrchol je 1., který druhý a který 3.
Představ si, že máš strany pojmenované a,b,c,d
Tvým postupem si vybereš např.
1. a 2. b 3. c
a jiný výběr bude
1. b 2. a 3. c
Jak se to liší? Nijak. Jse to stále stejejná trojice stran.
Jinými slovy: Tak jak to vybíráš počítáš počet uspořádaných trojic, tj. vlastně variace, zatímco ty trojice jsou neuspořádané.
Řešení je snadné.
Buď nevybírej ty strany postupně, ale vyber všechny tři najednou. Dostaneš
a to je přesně tvá úvaha
nebo tvůj původní postup ještě vyděl 
, což je počet včech pořadí tří stran
Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!
Offline