Matematické Fórum

Přeji příjemný podvečer,

Jak jsem koukal, řeší se tu spousta úloh velice podobného typu (ba téměř stejného), jelikož si stále nejsem vůbec jist svými tvrzeními ani jejich dokazováním, obracím se sem s prosbou o radu.

Zadání příkladu :

Mezi všemi studenty sedícími v jedné posluchárně na přednášce Úvodu do informatiky definujeme binární relace R, S následovně:

• Student X je v relaci R se studentem Y , formálně (X, Y ) ∈ R, pravě když

X nesedí ve stejném sloupci jako Y .

• Student X je v relaci S se studentem Y , formálně (X, Y ) ∈ S, pravě když

X sedí v druhé řadě a Y v druhém sloupci .

Určete, které z následujících vlastnosti reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní
vždy splňuje složena relace S ◦ R.
Svou odpověď musíte vždy aspoň krátce (ale přesně!) dokázat, případně uvést konkrétní protipříklad.

Dobrá, po složení relací jsem dospěl k :

Student C je v relaci S o R s A, právě když A sedí v druhé řadě a C nesedí v 2. sloupci a existuje student B, který sedí v druhém sloupci.

R ∈ (X,Y) ∈ (A,B)
S ∈ (x,Y) ∈ (B,C)

A teď postupně k jejím vlastnostem (složené relace) :

Reflexivní :

Dejme tomu, že posluchárna má sloupce i řady 1-5 :

- - - - -
- - - - -
- - - - -
a b c - -     
- - - - -

Tahle situace může nastat a platí, jelikož splňuje podmínky že student A není ve stejném sloupci jako C a B je v druhém sloupci a A v druhé řadě. Reflexivní není, jelikož student A a A není v relaci sám se sebou.

Symetrická

- - - - -
- b - - -
- - - - c
a - - - -
- - - - -

Když  A->C, nebudu následně platit C->A, jelikož bych potom narušil podmínku a student A by nebyl v relaci.

Bohužel u antisymetrie a tranzitivity jsi nejsel vůbec jistý a dělá mi problémy vůbec na této binární relaci definovat antisymetrii a tranzitivitu.

Uvítám rady všeho typu a předem Všem děkuji.