Matematické Fórum

rousienka

Prosím, nemohu se dostat k těmto správným výsledkům...

a) log[2]{x-5}+log[2]{2x-3}+1=log30 P = {6}

b) log[3][2+2*log[4]{2x-3}]=1 P = {2.5}

c) x^log[2]{x}=4*x P = {4 ; 1/2}

O.o · 11. 11. 2008 22:10 — Editoval O.o (11. 11. 2008 23:21)

↑ rousienka:

b)
$log_3{(2+2log_4{(2x-3)})}=1 \nl vime, \ ze \ 1=log_3{3} \nl log_3{(2+2log_4{(2x-3)})} = log_3{3} \nl logaritmy \ mame \ na \ obou \ stranach \ se \ stejnymi \ zaklady \ tudiz \ muzeme \ jiz \ resit \ pouze \ jejich \ argumenty, \ tzn.: \nl 2+2log_4{(2x-3)} = 3 \nl log_4{(2x-3)^2} = 1 \nl 1 = log_4{4} \nl log_4{(2x-3)^2} = log_4{4} \nl resime \ rovnici: \nl (2x-3)^2 = 4$

Použil jsem pravidlo pro úpravu logaritmu s mocninou, tj:

$log_z{a^b} = b \cdot log_z{a}$

A takovou tu deifinic logaritmu přes inverzní funkci, nebo jak se tomu říká:

$log_a{x} = y \ <=> \ x = a^y$

Jestli jsem to někde netrefil, tak se omlouvám. Trochu jsem se ztratil v psaní závorek .)

Jinak pokud je to správně, tak si rovnici dořešíš určitě samostatně. Jen nezapomeň určit, kdy má daná rovnice smysl (tím myslím původní rovnici), tzn. kdy má smysl řešit (určit si podmínky řešitelnosti) rovnici:

$log_3{(2+2log_4{(2x-3)})}=1$

Respk., kdy má smysl řešit:
??????????????????????????????
$log_3{(2+2log_4{(2x-3)})}$
??????????????????????????????
[Logaritmus má smysl řešit, když jeho základ je větší jak nula a neroven jedné a současně (!) když je jeho argument větší jak nula (!)]

c)
$x^{log_2{(x)}}=4x \nl Zlogaritmujeme \ logaritmem \ o \ zaklade \ 2 \nl log_2{(x^{log_2{(x)}})} = log_2{(4x)} \nl log_2{(x)} \cdot log_2{(x)} = log_2{(4x)} \nl log^2_2{(x)} = log_2{4} + log_2{(x)} \nl log^2_2{(x)} - log_2{(x)} = 2 \nl log^2_2{(x)} - log_2{(x)} - 2 = 0 \nl Zavedeme \ substituci \ log_2{x}=a \nl a^2+a-2=0 \nl$

Dořešení nechávám na tobě, kvadratická rovnice nebude až, tak těžká. Jen nezapomeň (!) výsledek kvadratické rovnice (a = ...) zpětně dosadit do substituce (a = log_2{x}) (!), aby jsi získal konečný výsledek (tzn. čemu je rovno x). Podle výsledků to vyjde správně..

PS: Znovu nezapomeň určit podmínky, kdy má cenu daný výraz řešit (kdy má smysl).

Matematické Fórum

#1 11. 11. 2008 21:34 — Editoval rousienka (11. 11. 2008 21:42)

Logaritmické rovnice

#2 11. 11. 2008 22:10 — Editoval O.o (11. 11. 2008 23:21)

Re: Logaritmické rovnice

Zápatí