Matematické Fórum

riders21

čavte, minule kamaráta napadla takáto zaujímavá úloha
predstavme si prstenec so zanedbatelnou hmotnosťou a polomerom $r_{0}$ na ktorého vrchu je prichytený HB s hm. $m$ (asi takto)
HB je na začiatku na vrchole kružnice a začne sa preklápať s nulovou počiatočnou rýchlosťou
za aký čas sa dostane HB do najnižšej polohy ???
skúšal som takto
$M=Fr=J\varepsilon$
$\varepsilon =\frac{\mathrm{d^{2}} \varphi }{\mathrm{dt^{2}} }$
$sin\varphi=\frac{r}{r_{0}}$
z toho mi vyšlo(berte to za pokus)
$\frac{\mathrm{d^{2}} \varphi }{\mathrm{dt^{2}} }=\frac{F_{gHB}r_{0}sin\varphi }{J}$
1.je to správne?
2.v rôznych mat. zbierkach vidím v dif. rovniciach písané namiesto $\frac{\mathrm{d^{2}} \varphi }{\mathrm{dt^{2}} }$ toto $y''$ $\Leftrightarrow$ ako by som túto rovnicu zapísal týmto druhým spôsobom?
3.predpokladám že ked zanedbáme hmotnosť prstenca tak J vystupujúce v rov bude $J=mr^{2}$ (J pre HB)
ako by sa to zmenilo - akýje mom. zotrvačnosti prstenca ak ho nezanedbáme?
vopred ďakujem

jelena · 04. 07. 2012 13:50

Zdravím,

v první části úlohy bych použila jen zákon zachování energie (pro horní polohu jen potenciální, pro dolní - jen kinetická pro kuličku, tření neuvažuji), pokud mi tuto cestu někdo z kolegů potvrdí, tak se pokusím dovyjádřovat až k výsledku, zda se shodneme, ale neslibuji.

2.v rôznych mat. zbierkach vidím v dif. rovniciach písané namiesto $\frac{\mathrm{d^{2}} \varphi }{\mathrm{dt^{2}} }$ toto $y''$ $\Leftrightarrow$ ako by som túto rovnicu zapísal týmto druhým spôsobom?

předpokládám, že $y=f(x)$ , kde x, y bude souřadnice polohy bodu v čase t (bod se bude nacházet na kružnici, lze zapsat i jako parametrické vyjádření od t), Tvé vyjádření $\frac{\mathrm{d^{2}} \varphi }{\mathrm{dt^{2}} }$ by mělo odrážet parametrický zápis stejné funkce (cca str. 65-70 v odkazu).

ako by sa to zmenilo - aký je mom. zotrvačnosti prstenca ak ho nezanedbáme?

V této části předpokládáš stejnou situaci, jen prstenec bude mít hmotnost (jinak také se jen změní poloha kuličky)?

To jsem ještě neuvažovala.

Přidáno: trochu jsem uvažovala nad 2. části (hmotný prstenec) - opět bych využila zákon zachování a posun těžiště celého tělesa do dolní rovnovážné polohy.

medvidek · 05. 07. 2012 02:45

Ahoj,
nechcem vás rušiť v diskusii, ale odpoveď na otázku

HB je na začiatku na vrchole kružnice a začne sa preklápať s nulovou počiatočnou rýchlosťou
za aký čas sa dostane HB do najnižšej polohy ???

je snáď jasná. Nikdy.

Čas, za ktorý sa dostane HB do najnižsej polohy, závisí na počiatočnej vzdialenosti HB od vrcholu kružnice.
(a/alebo na počiatočnej rýchlosti HB)

Pamätám si, že sme riešili podobnú úlohu:
Ako presne musíme umiestniť HB na vrchol kružnice, aby sa nedostal do najnižšej polohy skôr, než za čas t.

... a namiesto Higgsovho Bozónu (HB) na kružnici sme počítali s matematickým kyvadlom :-)

jelena · 05. 07. 2012 08:59

↑ medvidek:

Zdravím,

děkuji velice - takovou odpovědí bys mi samozřejmě ušetřil spoustu nezáživného počítání :-)

Já jsem úloze rozuměla tak, že prstenec s upevněnou kuličkou je "v horní nestabilní rovnovážné poloze", po uvolnění se začne točit a dostane se (poprvé - a ten čas se vypočte) do dolní polohy.

Ale varianta "nepočítat" by se mi líbila daleko více (s lenosti mám dokonce stejný kořen v jménu :-)

medvidek · 07. 07. 2012 00:44

↑ jelena:
Líná Jelena ... tak to je naozaj SciFi :-)

Počiatočné podmienky sú nulové, hmotný bod sa po uvolnení nezačne pohybovať. Čas "poprvé" veľmi závisí na (nenulových) počiatočných podmienkach. Bez poč. podmienok sa tento čas nedá ani hrubo odhadnúť. Môže to byť sekunda, minuta - čokoľvek.

jelena · 07. 07. 2012 09:14

↑ medvidek:

Děkuji, nějak mi přišlo, že to je stejná klasika, jako stačí říci"při nepatrném vychýlení", jako v 2. úloze v odkazu. No nevadí - kolegové úlohu vymysleli, tak mohou doladit i počáteční podmínky.

-----------------
OT: určitě "lenivá" - představuji si, že pracovitý člověk umí dělat i to, co ho nebaví, což mně se stát nemůže. Tedy skoro - působení pro virtuální plácek tak nějak od roku 2009 považuji za otravnou dřinu, ale určitě vytrvalým opakováním, že to baví, dojdu k jinému názoru (jak jsem již před dlouhými časy došla např. k nalezení zalíbení v umývání nádobí :-)

Zdravím, jdu se radovat z dokončování úklidu - takového volna, co na nás teď spadlo - a-a-a-ch :-)

riders21 · 27. 07. 2012 13:53

nech teda su počiatočne podmienky $\varphi _{0}$ a $\omega _{0}$
dalo by sa to zahrnut do konstant ktoré ziskame po integraci tej rovnice hore?
(dajme tomu ze to nie je prstenec ale hriadel s hmotnym bodom - aby sme mohli zanedbať pohyb prstenca)

medvidek

↑ riders21:
Najprv odpovede k prvému príspevku.
1. Diferenciálnu rovnicu máš dobre.
2. Myslím, že $y''$ označuje druhú deriváciu $y$ podľa bližšie neurčenej premennej. Vždy by malo byť jasné z kontextu, podľa ktorej. Používa sa i (asi len vo fyzike?) notácia $\ddot{y}$ , kde by som už predpokladal, že ide o druhú deriváciu podľa času.
3. Moment zotrvačnosti hmotného prstenca by bol vyjadrený rovnakým vzorcom ako pre hmotný bod, ale m by bola hmotnosť prstenca.

Pokiaľ hmotnosť prstenca neuvažujeme, dá sa pohybová rovnica z príspevku #1 takto upraviť:
$\frac{\mathrm{d^{2}} \varphi }{\mathrm{dt^{2}} }-\frac{g}{r_0}sin\varphi=0$ (1)
S počiatočnými podmienkami $\varphi (0) = \varphi_0$ , $\omega (0) = \omega_0$ možno považovať popis za úplný. Intuitívne očakávame, že riešenie bude periodické, pretože sa vlastne jedná o kyvadlo, u ktorého meriame uhol $\varphi$ od hornej polohy. Keby sme zaviedli výchylku $\theta$ meranú od dolnej rovnovážnej polohy, dostali by sme bežnejšiu rovnicu kyvadla (pre výchylky, pri ktorých nemožno použiť aproximáciu $\sin{\theta}\approx \theta$ ).
$\frac{\mathrm{d^{2}} \theta}{\mathrm{dt^{2}} }+\frac{g}{r_0}sin\theta=0$ (2)
Táto rovnica nie je jednoducho riešiteľná. Možný postup je naznačený napríklad tu. Výsledkom je vyjadrenie periódy kmitu $T$ v závislosti na počiatočnej výchylke $\theta_0$ vo forme mocninového radu.

Vráťme sa ešte k rovnici (1).
Pre malé hodnoty $\varphi$ môžeme aproximovať $\sin{\varphi}\approx \varphi$ a riešenie sa veľmi zjednoduší. Máme teda možnosť dostatočne presného popisu pohybu prevráteného kyvadla aspoň pri malých odchylkách od hornej polohy.
Aproximáciou sa rovnica (1) zlinearizuje a obecné riešenie potom bude
$\varphi(t)=A e^{\sqrt{g/r_0}\ t} + B e^{-\sqrt{g/r_0}\ t}$ ,
kde koštanty A a B dopočítame z počiatočných podmienok $\varphi_0$ a $\omega_0$ .

EDIT:
Pre zaujímavosť sem pridávam odkaz na veľmi pôsobivú ukážku práce s reverzným kyvadlom (Technická Univerzita Viedeň).
http://www.youtube.com/watch?v=cyN-CRNrb3E