Matematické Fórum

miso16211 · 23. 07. 2012 16:40

Napíšte rovnicu kružnice ktorá sa dotýka priamok p : 3x - 4y + 1 = 0 a q: 3x - 4y + 5 =0. Ich stred leží na priamke j: 3x+2y = 0

Mam všetko urobene len polomer som počítal najprv inak trochu a nechcelo mi vysjť.
$S[-\frac{1}{3},\frac{1}{2}]$
$L[x,\frac{3x+1}{4}]$
$L\in p; \overrightarrow{SL}= L -S=(x+\frac{1}{3}, \frac{3x-1}{4})$

$K[x,\frac{3x+5}{4}]$
$S\in q, \overrightarrow{SK}= K-S = (x+\frac{1}{3}, \frac{3x+3}{4})$

$(3x-1)^{2} = (3x+3)^{2}$

$x = \frac{-2}{3}$

a nie a nie vyjsť.

Viem, že sa dá ľahko vypočítať cez vzdialenosť bodu od priamky.

Cheop · 23. 07. 2012 20:26 — Editoval Cheop (23. 07. 2012 20:40)

↑ miso16211:
Vzdálenost středu S od jedné z rovnoběžek bude hledaný poloměr
(Řešíš tedy úlohu vzdálenost bodu od přímky)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Aha takže jinak:
1) Urči rovnici přímky kolmé k jedné z rovnoběžek procházející středem S
2) Urči průsečík těchto 2 přímek
3) Hledaný poloměr bude vzdálenost středu S od průsečíku z bodu 2)

miso16211 · 23. 07. 2012 21:06

↑ Cheop: viem su vela moznosti, ale práve to moje riesenie je zlé?

Dá sa že najdeš priesečnik a maš dva body, i vzdialenost bodu a priamky jeden vzorec a je to. Ale to moje riešenie :D

jelena · 23. 07. 2012 22:34

↑ miso16211:

Zdravím, Mišo,

u Tvého řešení by bylo dobré slovně okomentovat, co jsi dělal a jaký smysl má každý výpočet. Tak jsem nedokázala posoudit, o co šlo. Nevím, zda kolegové?

Bod $S[-\frac{1}{3},\frac{1}{2}]$ náleží přímce, na které má podle zadání být střed? Proč jsi zvolil zrovna takový bod, nebo je to výsledek výpočtu?

V případě rovnoběžných přímek (a třetí k ním nerovnoběžné) také můžeš najít průsečíky této přímky s rovnoběžkami a vypočíst střed takové úsečky (zároveň střed hledané kružnice), ale to jste už asi okomentovali s kolegou ↑ Cheop:.

miso16211

$S[-\frac{1}{3},\frac{1}{2}]$ //stred kružnice som vypočítal ako priesečnik priamky j a priamky m - os pasa 3x - 4y + (6/2) =0 ô 3x - 4y + 3 =0

$L[x,\frac{3x+1}{4}]$ // leží ma priamke p, teda každy bod musi mať takéto suradnice, v takom "pomere"

$L\in p; \overrightarrow{SL}= L -S=(x+\frac{1}{3}, \frac{3x-1}{4})$ // vektor SL

$K[x,\frac{3x+5}{4}]$ // bod patriaci priamke q, teda každy bod musi mať takéto suradnice, v takom "pomere"

$K\in q, \overrightarrow{SK}= K-S = (x+\frac{1}{3}, \frac{3x+3}{4})$ // vektor KS

$|\overrightarrow{SL}|=|\overrightarrow{SK}|$ // velkosti vektorov sa rovnajú

$\sqrt{((x+\frac{1}{3})^{2} +(\frac{3x-1}{4})^{2})}$ = $\sqrt{((x+\frac{1}{3})^{2}+( \frac{3x+3}{4})^{2})}$ // vykratim odmocninu a $(x+\frac{1}{3})^{2}$ na oboch stranach sa vykráti.

$(3x-1)^{2} = (3x+3)^{2}$

$x = \frac{-2}{3}$ // x keď dosadim do vektora SK alebo SL a vypočítam jeho veľkosť (velkosť daného vektora) dostanem r - polomer kružnice

PS.: Nemôžem editovať to, čo som včera napísal :(, môže to byť kvôli zmene titulku?

jelena · 24. 07. 2012 10:09

↑ miso16211:

Děkuji, Mišo,

ale

stred kružnice som vypočítal ako priesečnik priamky j a priamky q

asi nebude správný výchozí krok, protože jsi našel bod $S$ (a označuješ ho za střed kružnice), který zároveň leží na přímce q. Podle zadání však kružnice se středem S se má přímky q dotykat. Pokud střed je na přímce q, tak se kružnice přímky q dotykat nebude.

Je to tak? Nebo jsem špatně pochopila? Děkuji.

Rumburak

↑ miso16211:
Ahoj.

Kolegyně Jelena (již zdravím :-)) už objevila chybu. Proto já nyní už jen napovím snadný způsob řešení:
Střed kružnice leží zároveň na jisté přímce $m$ , o níž se v zadání nehovoří.

Cheop · 24. 07. 2012 10:25

↑ miso16211:
Pokud dosadím do Tvého výpočtu dostanu:
Výpočet

miso16211 · 24. 07. 2012 13:01

↑ jelena: joj ja som ale blbý, os pasa a j, ich priesečnik je bod S. Ale to som už opravil, mal som to len som to zle napísal.

Cheop · 24. 07. 2012 13:31 — Editoval Cheop (24. 07. 2012 13:32)

↑ Rumburak:
Zdravím:-)
Střed bude ležet na přímce uprostřed těch rovnoběžek
A bude to průsečík této přímky s přímkou 3x + 2y=0
(Ale to Ty jistě víš)

Rumburak · 24. 07. 2012 14:42

↑ Cheop:

Ahoj, přesně tak. Užitečné je uvědomit si, že když p : 3x - 4y + 1 = 0 , q: 3x - 4y + 5 =0, potom přímka w , která je s nimi rovnoběžná
a leží "uprostřed mez nimi", má rovnici p : 3x - 4y + 3 = 0 (protože (1+5)/2 = 3 ).

miso16211 · 24. 07. 2012 18:14

↑ Rumburak: šak hej, ale dal a dál moje riešenie nevychádza, a postup mam ako vy to tu píšete

jelena · 24. 07. 2012 19:22

↑ miso16211:

překontroluj, prosím, rovnici $(3x-1)^{2} = (3x+3)^{2}$ (na nový papír). Ať se podaří.

Rumburak

↑ miso16211:

Máš pravdu. Vycházel jsem pouze z Tvého prvního příspěvku ↑ miso16211:, odkud mi jednotlivé kroky Tvého postupu nebyly srozumitelné.
Jak Ti vyšel kořen rovnice $(3x-1)^{2} = (3x+3)^{2}$ ? Mně $x = \frac{-1}{3}$ . Ale k čemu Ti toto řešení bude ? Odpovídající body $L, K$ na
přímkách $p, q$ jsou takové, kreré mají stejnou x-ovou souřadnici jako bod $S$ , což by Ti pro určení poloměru pomohlo pouze tehdy,
když přímka $LK$ by zároveň byla kolmá k přímkám $p, q$ , to ale není náš případ .

Ty potřebuješ nalézt takový bod $L\in p$ , aby vektor $\overrightarrow{SL}$ byl kolmý k přímce $p$ . Poloměrem kružnice pak bude $|\overrightarrow{SL}|$ .

Ještě jedna POZNÁMKA k Tvému dosavadnímu postupu: Podmínku, že body $L, K$ budou mít tutéž x-ovou souřadnici, jsi stanovil Ty sám - tím,
že jsi ji u obou těchto bodů označil toutéž proměnnou (x). Mohl jsi pro každý bod použít jinou proměnnou, ale tím bys dostal rovnici o dvou neznámých
a rovněž i zde bys musel použít podmínku na kolmost.

miso16211

↑ jelena:

$9x^{2} - 6x + 1 = 9x^{2} + 18x + 9$ / + 6x, -9

$- 6x + 1 = + 18x + 9$ / + 6x, -9

$-8 = 24 x$

$x = \frac{-1}{3}$

miso16211

↑ Rumburak: vypočítam cez x polomer kružnice.

x dosadím do jedného z vektorov

$K\in q, \overrightarrow{SK}= K-S = (x+\frac{1}{3}, \frac{3x+3}{4})$

$L\in p; \overrightarrow{SL}= L -S=(x+\frac{1}{3}, \frac{3x-1}{4})$

a vypočítam veľkosť vektora a mám polomer. Stred už dávno mám.

polomer má vyjsť r = 1,5 a mne vychádza 0,5

smerový vektor priamky p je s=(4,3)

$4.(x+\frac{1}{3}) + 3.(\frac{3x-1}{4})=0$ // smerový . kolmý = 0

a toto mi nevychádza. či ako si to myslel.

Rumburak · 25. 07. 2012 10:29

↑ miso16211:

Až budeš mít nekterý z bodů K, L , pak už snadno spočteš poloměr kružnice (jako velikost vektoru K-S resp L-S), který nám dopod ještě chybí -
to je správná úvaha.

PS. Ale jak nalézt některý z bodů K, L se snad už mezitím vyjasnilo mým příspěvkem ↑ Rumburak: , do něhož jsem ještě něco doplnil.

miso16211 · 25. 07. 2012 10:40

↑ Rumburak: šak mam vektor a mi nevychádza. a načo mi bod K alebo L, staci mi vektor LS a jeho velkost.

Rumburak · 25. 07. 2012 11:01

↑ miso16211:

Ano, takto jsem to myslel . Vyšlo mi $x = -\frac{7}{75}$ , což, pravda, není uklidňující mezivýsledek. Dále mi vychází

$L-S = ( 6/25 , -8/25)$ , jeho velikost $2/5$ .

Kontrola: Ze vzorce pro vzdálenost dvou rovnoběžek vychází pro p, q hodnota 4/5 , takže předchozí výsledek je správně.

Rumburak

↑ miso16211:
Body K, L určitě nepotřebujeme oba, ale pmocí bodu L můžeme vyjádřit vektpr L-S a nebo pomocí bodu K vyjádřit vektor K-S (rovněž kolmý
k daným rovnoběžkám) . Který z obou vektorů použijeme pro výpočet poloměru kružnice, je úplně jedno, můžeme si vybrat.

Cheop · 25. 07. 2012 12:13

↑ miso16211:
Podle Tvého výpočtu jak vidíš ty rovnice nemohou platit - viz obrázek

miso16211 · 25. 07. 2012 12:34

↑ Rumburak: $x = -\frac{7}{75}$

a mne to nevychádza, $4.(x+\frac{1}{3}) + 3.(\frac{3x-1}{4})=0$

ked dosadim tvoj vysledok vychádza mi

$\frac{72}{75} - \frac{-288}{300} = 0$

Rumburak · 25. 07. 2012 15:23

↑ miso16211:

Tak tu zkoušku dosazením zkusím udělat já: $x = -\frac{7}{75}$ ,
$4.(x+\frac{1}{3}) + 3.(\frac{3x-1}{4})= 4.( -\frac{7}{75}+\frac{1}{3}) + 3. \frac{3 (-\frac{7}{75})-1}{4}=4.( -\frac{7}{75}+\frac{25}{75}) + 3.\frac{3 (-7)-75}{4\cdot 75}=\\=\frac{4\cdot 18}{75}-\frac{3 \cdot 7 + 75}{4\cdot 25}=\frac{4\cdot 6}{25}-\frac{3 \cdot 7 + 75}{4\cdot 25}=\frac{4\cdot 6}{25}-\frac{96}{4\cdot 25}=\frac{24}{25}-\frac{24}{25}=0$ .

miso16211 · 25. 07. 2012 15:42

Ja tu ulohu viem, len som nevedel preco mi to nechce vysjt cez zlozitejsi postup. Teraz vidím že žložity postup je ešte zložitejším. Viem tu úlohu. Téma označujem ako vyriešenú.

Matematické Fórum

#1 23. 07. 2012 16:40

Analyticka geometria

#2 23. 07. 2012 19:17 — Editoval Cheop (23. 07. 2012 19:39) Příspěvek uživatele Cheop byl skryt uživatelem Cheop. Důvod: Špatná rada

#3 23. 07. 2012 20:26 — Editoval Cheop (23. 07. 2012 20:40)

Re: Analyticka geometria

#4 23. 07. 2012 21:06

Re: Analyticka geometria

#5 23. 07. 2012 22:34

Re: Analyticka geometria

#6 24. 07. 2012 09:49 — Editoval miso16211 (24. 07. 2012 13:00)

Re: Analyticka geometria

#7 24. 07. 2012 10:09

Re: Analyticka geometria

#8 24. 07. 2012 10:22 — Editoval Rumburak (24. 07. 2012 10:24)

Re: Analyticka geometria

#9 24. 07. 2012 10:25

Re: Analyticka geometria

#10 24. 07. 2012 13:01

Re: Analyticka geometria

#11 24. 07. 2012 13:31 — Editoval Cheop (24. 07. 2012 13:32)

Re: Analyticka geometria

#12 24. 07. 2012 14:42

Re: Analyticka geometria

#13 24. 07. 2012 18:14

Re: Analyticka geometria

#14 24. 07. 2012 19:22

Re: Analyticka geometria

#15 25. 07. 2012 10:04 — Editoval Rumburak (25. 07. 2012 10:17)

Re: Analyticka geometria

#16 25. 07. 2012 10:07 — Editoval miso16211 (25. 07. 2012 10:10)

Re: Analyticka geometria

#17 25. 07. 2012 10:12 — Editoval miso16211 (25. 07. 2012 10:21)

Re: Analyticka geometria

#18 25. 07. 2012 10:29

Re: Analyticka geometria

#19 25. 07. 2012 10:40

Re: Analyticka geometria

#20 25. 07. 2012 11:01

Re: Analyticka geometria

#21 25. 07. 2012 11:12 — Editoval Rumburak (25. 07. 2012 11:13)

Re: Analyticka geometria

#22 25. 07. 2012 12:13

Re: Analyticka geometria

#23 25. 07. 2012 12:34

Re: Analyticka geometria

#24 25. 07. 2012 15:23

Re: Analyticka geometria

#25 25. 07. 2012 15:42

Re: Analyticka geometria

Zápatí