Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

Stránky: 1

 

#1 09. 08. 2012 14:56

Somachr
Zelenáč
Příspěvky: 13
Reputace:   0 
 

Záměna pořadí integrace

Ahoj, mám dvojný integrála potřebuji zaměnit pořadí integrace. Prosím o postup, jestli by někdo neuvedl jednoduchý příklad s postupem abych se měl od čeho odrazit.

Děkuji

Offline

 

#2 09. 08. 2012 16:56

Somachr
Zelenáč
Příspěvky: 13
Reputace:   0 
 

Re: Záměna pořadí integrace

$\int_{0}^{1}\int_{0}^{x^{2}}f(x,y)dydx=...$  konkretně na takovém příkladu

Offline

 

#3 09. 08. 2012 17:23

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: Záměna pořadí integrace

Ahoj ↑ Somachr:,
na youtube najdes plno videoo na tuto temu
( napr napis do google youtube order of integration)
Alebo pozri aj sem
http://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_i … alculus%29

Staci?

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 10. 08. 2012 09:56 — Editoval Rumburak (10. 08. 2012 10:10)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Záměna pořadí integrace

↑ Somachr:
Ahoj.  Také pomůže přesný analytický popis množiny, přes kterou se integruje, případně její obrázek.
Množinu

                $M = \{[x, y] \in \mathbb{R}^2  ;   x\in(0, 1) \,\wedge\, y \in (0, x^2) \}$ ,

přes kterou provádíme DVOJNÝ čili DVOJROZMĚRNÝ  integrál

(1)                                    $I := \iint_M f$,

můžeme ekvivalentně vyjádřit  ve tvaru

                $M = \{[x, y] \in \mathbb{R}^2  ;   y\in(0, 1) \,\wedge \,x \in (\sqrt{y}, 1) \}$ ,

odkud snadno plynou dvě možnosti použití Fubiniovy věty, dle níž integrál (1) bude roven každému z DVOJNÁSOBNÝCH integrálů

(2)            $\int_{0}^{1}\int_{0}^{x^{2}}f(x,y)dydx$  ,    $\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{y}}^{1}f(x,y)dxdy$ .


POZNÁMKA. Důležitým předpokladem ovšem je, že integrál (1) existuje. Pakliže by (1) neexistoval, potom  i když by integrály (2)
existovaly,  mohly by se lišit svými hodnotami.

Offline

 

#5 10. 08. 2012 17:15

Somachr
Zelenáč
Příspěvky: 13
Reputace:   0 
 

Re: Záměna pořadí integrace

↑ Rumburak:

Ano jde mi o nějaký takový postup. Potřebuji si výpočtem ověřit to co jsem například odečetl z obrázku.

Prostě jak bez obrázku víš, že   $M = \{[x, y] \in \mathbb{R}^2  ;   x\in(0, 1) \,\wedge\, y \in (0, x^2) \}$ $\Leftrightarrow$ $M = \{[x, y] \in \mathbb{R}^2  ;   y\in(0, 1) \,\wedge \,x \in (\sqrt{y}, 1) \}$

Asi je to očividné, ale jo to prostě nevidím

Offline

 

#6 10. 08. 2012 17:27

Somachr
Zelenáč
Příspěvky: 13
Reputace:   0 
 

Re: Záměna pořadí integrace

↑ Somachr:
Dobře myslím, že jsem na to přišel. Náhodou někdo nemá příklady na kterých bych si to mohl ověřit?

Offline

 

#7 10. 08. 2012 18:14

Somachr
Zelenáč
Příspěvky: 13
Reputace:   0 
 

Re: Záměna pořadí integrace

Zde je dobrý příklad, nejsem si jistý jak dál postupovat

http://2i.cz/30f22f05d6

Offline

 

#8 11. 08. 2012 10:50

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Záměna pořadí integrace

Zde je dobrý příklad

byl by ještě lepší, pokud bys ho přepsal do čitelné podoby. V obrázku máš nesprávně zakresleny meze. Pokud dle 1. zápisu $0\leq y \leq \ln x$ (což máš i na obrázku, potom $0\leq x\leq e$, což ne obrázku nemáš)

Obrázek je vhodný proto, aby se dalo zhodnotit, zda při záměně pořadí integrace není nutné oblast dělit na více oblasti.

Ano jde mi o nějaký takový postup. Potřebuji si výpočtem ověřit to co jsem například odečetl z obrázku.

Prostě jak bez obrázku víš, že   $M = \{[x, y] \in \mathbb{R}^2  ;   x\in(0, 1) \,\wedge\, y \in (0, x^2) \}$ $\Leftrightarrow$ $M = \{[x, y] \in \mathbb{R}^2  ;   y\in(0, 1) \,\wedge \,x \in (\sqrt{y}, 1) \}$

Asi je to očividné, ale jo to prostě nevidím

ja postupuji např. tak, že přepíší $0\leq x\leq1$, $0\leq y\leq x^2$, meze pro x dosazuji do nerovnice pro y a mám: $0\leq y\leq 1^2$, odsud $y\in\langle0, 1\rangle$,

naopak z nerovnice $0\leq y\leq x^2$ vyjádřím $x=f(y)$ (podobne jako inverzní funkci $y\leq x^2$, odsud $\sqrt y\leq x$), ve výsledku $\sqrt y\leq x\leq 1$ (pravou mez z obrázku).

Proč vážený kolega Rumburak má okrouhlé závorky, to neumím vysvětlit.

Něco k užitku. Úplně nejlepší je sem umístit náhled na vaše výklady a úlohy (nebo si opravdu sehnat doučování, zdar v hledání přeji).

Offline

 

#9 13. 08. 2012 09:35 — Editoval Rumburak (13. 08. 2012 10:42)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Záměna pořadí integrace

↑ jelena:

Proč vážený kolega Rumburak má okrouhlé závorky, to neumím vysvětlit.

Ahoj.

Zda za množinu M, přes kterou se počítá n-rozměrný integrál, bereme oblast v $\mathbb{R}^n$ (tj. množinu tam otevřenou a souvislou)
nebo její uzávěr, tj. včetně její hranice mající n-rozměrnou Lebesgueovu míru 0  (hovoříme též o uzavřené oblasti), vyjde při
Lebesgueově definici integrálu nastejno (pokud existuje jeden z takových integrálů, existuje i druhý a jsou si rovny).

Aby totéž platilo i v případě, že pracujeme pouze s Riemannovým integrálem, který je méně obecný než Lebesgueův, stačí přidat
předpoklady, že oblast M je omezená a rovněž že integrovaná  funkce je omezená, a to  na uzávěru oblasti M. (Kdyby funkce
byla omezená na oblasti M,  ale ne už na jejím uzávěru, případně když by někde na hranici množiny M nebyla definována,
pak R-integrál přes uzávěr množiny M by neexistoval).

Offline

 

#10 13. 08. 2012 14:45

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Záměna pořadí integrace

↑ Rumburak:

Také pozdrav a děkuji,

nebyla jsem si jistá, zda mohu na výklad ↑ váženého kolegy Rumburaka: navázat polopatickou pomůckou s použitím neostrých nerovností (pro jistotu jsem překontrolovala i v Rektorysovi, že mohu).

On stejně můj příspěvek měl pouze za účel vyzvat kolegů, aby nevkládal takové nečitelné scany. Ještě ho vyzvu, aby ukončoval debaty, co zahájil a své výchovné působení zatím ukončím (ještě třeba sil na zahánění ke klavíru :-)

Offline

 

#11 13. 08. 2012 15:21

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Záměna pořadí integrace

↑ jelena:

(ještě třeba sil na zahánění ke klavíru :-)

Přdpokládám, že jde o hodnou slečnu dceru . :-) Může přijít doba, kdy ji budeš od klavíru odhánět.

A s tím "váženým kolegou R." už, prosím, přestaň - mám za to, že jsem si to již užil dostatečně. :-)

Offline

 

#12 13. 08. 2012 17:41

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Záměna pořadí integrace

↑ Rumburak:

:-) potom by nebyla označována za "hodnou", na zahánění je milý syn.

No oslovení "Vážený kolega Rumburak, který si nepřeje být oslovován "vážený kolega"" se mi zdá trochu dlouhé, tak se pokusím najít kompromisní řešení dle vzoru váženého Moderátora :-)

Vyhlašuji konec všech OT v tématu - očekáváme umístění studijních materiálů kolegy ↑ Somachr:.

Offline

 

#13 14. 08. 2012 10:11

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Záměna pořadí integrace

↑ jelena:

"Kolega R..."  mi samozřejmě nevadí, ale čtu-li tam ještě přívkastek "vážený", připadám si jako akademik na penzi (nejsem ani jedno, ani druhé) . :-)

Offline

 

#14 14. 08. 2012 15:11

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Záměna pořadí integrace

↑ Rumburak:

neomezené možnosti v tomto směru se nabízejí v pravě probíhající debatě. Až debata bude ukončena, tak možnosti budou velmi omezené :-)

Dobrá, já to tedy budu brát jako úsporná opatření a zadefinuji, že oslovení "Kolega R..." používám ve smyslu "Velevážený kolega R..." (čímž jsem úsporná opatření ještě zefektivnila o 67%). A nevyhlásila jsem náhodou konec OT v tématu?

Úplně OT tedy - názory na rozdělení sekce VŠ, děkuji :-)

Offline

 

 

Stránky: 1

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson