Matematické Fórum

Ludmilka · 21. 11. 2008 10:59

Mohl by mi prosím někdo zkontrolovat, zda mám správně vypočítané příklady? Už jsem na to četla jeden dotaz, ale přesto bych si chtěla ověřit, zda jsem počítala správně.

Náhodná veličina X má rovnoměrné spojité rozdělení v intervalu (2;6). Vypočítejte

Počítala jsem to podle vzorců:

EX = a + b / 2 = 4

E(X^2) = b^2 + ab + a^2 / 3 = 52/3

DX = E(X^2) - (EX)^2 = (b - a)^2 / 12 = 16/12

po dosazení mi pak vyšlo

a) E(2X + 3) = 11

b) E(X^2 - 5X + 2) = -2/3

c) E(4X^2 - 5X + 2) = 154/30

S tímhle si nevím rady. Když tam doplním 16/12, tak mi výjdou úplně jiné výsledky. Takže nevím, zda jsou správné, přestože jsem je našla ve výsledcích.

d) D(6X - 7) = 48 (zde mi teda výjde 1)

e) D(X^2) = 87 (a tady 256/144)

Takže nevím, který je správný

Předem moc děkuji.

Ludmilka · 22. 11. 2008 10:22

Prosím Vás mohl by mi někdo napsat, zda to mám správně vypočítané?
V pondělí z toho dělám zkoušku, tak abych tam něco vypočítala.
Předem moc děkuji

jelena · 23. 11. 2008 01:31

↑ Ludmilka:

Zdravím :-)

EX = a + b / 2 = 4 - OK

E(X^2) = b^2 + ab + a^2 / 3 = 52/3 - OK

(ten vzorec sice neznám, kontrolovala jsem přes integral - střední hodnoty od složené funkce (zde g(x) = x^2) se pocita jako

$\operatorname{E}(X^2) = \int_{a}^b g(x) f(x) \mathrm{d}x$

pro tve zadani bude

$\operatorname{E}(X^2) = \int_{2}^6 x^2\cdot{\frac14} \mathrm{d}x$

vysledek je stejny

DX = E(X^2) - (EX)^2 = (b - a)^2 / 12 = 16/12 - OK

po dosazení mi pak vyšlo

a) E(2X + 3) = 11 - OK

b) E(X^2 - 5X + 2) = -2/3 - OK

c) E(4X^2 - 5X + 2) = 154/30 - tady je pouze překlep v jmenovateli (ma tam být pouze 3, ze ano?)

d) D(6X - 7) = 48 (ano, má být 48), překontroluj vzorec:

D(aX + b) = a^2 * D(X) (koeficient před nezávislou vel. se dává na druhou, ale b tam uz vůbec není]

D(6X - 7) = 36 * (16/12) = 48

e) D(X^2) = 87 (ano, 87 vychází po zaokrouhlení), opět používám vzorec pro rozptyl složené funkce od náhodné veličiny:

$\operatorname{D}(X^2) = \int_{a}^b g^2(x) f(x) \mathrm{d}x-[\operatorname{E}(g(x))]^2$

pro tve zadani

$\operatorname{D}(X^2)= \int_{2}^6 x^4\cdot{\frac14} \mathrm{d}x-[\operatorname{E}(X^2)]^2$

Nemáš nějaké online odkazy, z čeho čerpáš vzorce, ať si rozšířím obzor, děkuji :-)

Budu držet palce, ať se to v pondělí podaří :-)

Ludmilka · 23. 11. 2008 20:10

↑ jelena:

Předem bych Ti chtěla poděkovat za ověření. Jsem moc ráda, protože na zkoušce budu vědět, jak mám počítat :-)

Promiň, že se ještě ptám, ale není mi jasné, jak se dojde k té 48.

d) D(6X - 7) = 48 (ano, má být 48), překontroluj vzorec:

D(aX + b) = a^2 * D(X) (koeficient před nezávislou vel. se dává na druhou, ale b tam uz vůbec není]

D(6X - 7) = 36 * (16/12) = 48

Není mi jasný ten vzorec, když je interval (2;6), proč je tam 6^2 a ne 2^2?

Jinak vzorce čerpám z přednášek a ze skript, které nám zaslal učitel. Pokud mi zde napíšeš e-mail, tak ti je ráda přepošlu.

Ještě jednou děkuji :-)

jelena · 23. 11. 2008 20:46

↑ Ludmilka:

Zdravím :-)

já jsem si neuvedomila, že stejným písmenem je označen okraj intervalu (a, b) a také písmenka ve vzorci pro výpočet rozptylu a že to pěkně mate.

Tak ještě jednou - náhodna veličina X "se pohybuje" v intervalu (a, b).

Rozptyl jiné náhodné veličiny, která se odvozuje od původní, se počítá podle určitého vzorce:

D(mX + n) = m^2 * D(X) (koeficient před X se dává na druhou a n úplně mízí)

zde m, n jsou pouze koeficienty ("nenáhodné" veličiny, pomocí kterých se vytvaří "nová" náhodná veličina.

Třeba ty mas zadano, že nová náhodná veližiná se odvodí od původní jako 6X - 7 (násobením 6 a odečtením od výsledku 7), proto rozptyl této náhodné veličiny bude takový, jak jsme počítali:

D(6X - 7) = 6^2 * D(X),

pokud bychom potřebovali počítat D(8X + 5) = 8^2 * D(X),

Říká nám to pouze, že násobení náhodné veličiny nějakým číslem má vliv na rozptyl nově vytvořené náhodné veličiny (logické - "pole rozptylu" je širší), ovšem příčtení k náhodně veličině nějakého čísla nemá vliv na rozptyl.

OK?

Ludmilka · 23. 11. 2008 21:20

↑ jelena:

Díky za vysvětlení, teď už tomu rozumín :-)

Matematické Fórum

#1 21. 11. 2008 10:59

Ověření správnosti počítání

#2 22. 11. 2008 10:22

Re: Ověření správnosti počítání

#3 23. 11. 2008 01:31

Re: Ověření správnosti počítání

#4 23. 11. 2008 20:10

Re: Ověření správnosti počítání

#5 23. 11. 2008 20:46

Re: Ověření správnosti počítání

#6 23. 11. 2008 21:20

Re: Ověření správnosti počítání

Zápatí