Matematické Fórum

Teyras · 23. 10. 2012 22:08

Zdravím,
nevím si rady s řešením následujícího příkladu:
Dokažte pomocí MI, že pro každé n existují x,y,z
$x^{2} + y^{2} +z^{2} = 14^{n}, x,y,z,n \in \mathbb{N}, x \neq y \neq z$
Umím to dokázat pro n=1, tam jsou x, y, z 1,2 a 3. Jak ale postupovat dál? Pokud použiju klasickou indukci V(n) => V(n+1), napadá mě jen využít toho, že $14^{n+1} = 14*14^{n}$ , ale nevím, co dál.
Díky za každou radu!

Pavel Brožek

↑ Teyras:

Malá nápověda: zkus to dokázat jen pro sudá (nebo jen pro lichá) n.

(1. ročník informatiky na matfyzu? :-) )

Teyras · 24. 10. 2012 09:20

↑ Pavel Brožek:
Napadlo mě to, je to podobnej princip jako u AG nerovnosti, ne?
Jo, trefa :) a díky :)

Pavel Brožek · 24. 10. 2012 10:32

↑ Teyras:

No to nevím, mně to AG nerovnost nijak nepřipomíná, ani ten způsob, jakým se to dokazuje.

Teyras · 24. 10. 2012 14:25

↑ Pavel Brožek: AG nerovnost se dá dokázat pomocí indukce V(2n) a pak V(n-1), to mi jí připomnělo... Ale nic víc společnýho tady asi nebude...

Pavel Brožek · 24. 10. 2012 15:51

↑ Teyras:

Další nápověda Zobrazit/skrýt!

Teyras · 24. 10. 2012 22:08

No, díky za nápovědu, ale pro n+2 to pořád nevidím...

Pavel Brožek · 24. 10. 2012 22:23

↑ Teyras:

$14^{n+2}=14^2\cdot14^n$

a teď použij indukční předpoklad $14^n=x^2+y^2+z^2$ .

Teyras · 24. 10. 2012 22:40

↑ Pavel Brožek:
Jo takhle... pff, to jsem tu měl, jen se mi nechtělo věřit, že je to opravdu ten důkaz :)
Díky moc

Pavel Brožek · 24. 10. 2012 23:25

↑ Teyras:

No to není samozřejmě celé, doufám, že jsi pochopil, že ta nová x, y a z budou 14x, 14y a 14z :-)

Teyras · 24. 10. 2012 23:34

↑ Pavel Brožek:
Jo, to už jsem pochopil :) Ještě jednou díky!

Matematické Fórum

#1 23. 10. 2012 22:08

14^n jako součet tří čtverců

#2 23. 10. 2012 22:21 — Editoval Pavel Brožek (23. 10. 2012 22:29)

Re: 14^n jako součet tří čtverců

#3 24. 10. 2012 09:20

Re: 14^n jako součet tří čtverců

#4 24. 10. 2012 10:32

Re: 14^n jako součet tří čtverců

#5 24. 10. 2012 14:25

Re: 14^n jako součet tří čtverců

#6 24. 10. 2012 15:51

Re: 14^n jako součet tří čtverců

#7 24. 10. 2012 22:08

Re: 14^n jako součet tří čtverců

#8 24. 10. 2012 22:23

Re: 14^n jako součet tří čtverců

#9 24. 10. 2012 22:40

Re: 14^n jako součet tří čtverců

#10 24. 10. 2012 23:25

Re: 14^n jako součet tří čtverců

#11 24. 10. 2012 23:34

Re: 14^n jako součet tří čtverců

Zápatí