Matematické Fórum

fellipe · 21. 11. 2012 00:43

$\int \frac{dx}{2*sinx +3}$

dobrý večer přeji. Tak si procvičuji integrály a narazil jsem na výše zmíněný. Nějak jsem se do toho zaplantal, nikde ve svých zápisech jsem nenašel podobný příklad. Našel jsem nějaké materiály na netu a vyšel jsem z toho, že to bude substituce pomocí tan:

$tan(\frac{1}{2}x=t)$
$x=arctant$
$dx=\frac{2}{1+t^{2}dt}$
$sinx=\frac{2t}{1+t^{2}}$

to mi poradil MAW.....budu rád za pomoct a popřípadě i za link na nějaké materiály s touto tématikou. Nejlépe i s nějakým podrobně rozepsaným příkladem, jestli by se takový materiál našel. V tomhle typu příkladu mám mezery a rád bych to nějak pochopil.

Díky moc:)

jardofpr · 21. 11. 2012 01:12

ahoj ↑ fellipe:

v tých substitučných vzťahoch je niekoľko chýb

$\tan{\bigg(\frac{x}{2}\bigg)}=t$ alebo $x=2\,\mathrm{arctan}\,{(t)}$ pričom $x\neq (2k+1)\pi\,;\,k \in \mathbb{Z}$

$\mathrm{d}x=\frac{2\,\mathrm{d}t}{1+t^2}$

$\sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}$

otázka: problém je v použití tejto substitúcie? alebo kde presne?

fellipe · 21. 11. 2012 09:32

Omlouvám se za ty chyby, jsou to mé chyby v přepisu. V prvním případě závorka měla končit před rovná se, a jestli to je $\frac{1}{2}x$ nebo $\frac{x}{2}$ je asi jedno. V druhém jsem už udělal chybu já, mělo tam být 2arctan, jak to máte vy:)

Ale substituce mi dal MAW, sám bych nevěděl co s tím(ne že bych teď věděl). Nevím proč se používá substituce zrovna takto. Předpokladám, že je to univerzální postup, jak řešit příklady tohoto typu, ale v našich materiálech jsem takovýto příklad nenašel, proto jsem se ptal, jestli má někdo nějaké materiály pro "blbce", abych pochopil, proč se používá takováto substituce

jardofpr

↑ fellipe:

môžem sa to pokúsiť vysvetliť na tomto príklade,
nakoľko materiály k tomuto nemám veľmi po ruke

funkcia v zadaní má periódu $2\pi$ , tak ako funkcia $\tan{\frac{x}{2}}$ ,
a je definovaná na množine $\mathbb{R}$

hľadáme primitívnu funkciu k $\frac{1}{2\sin{x}+3}$ na $\mathbb{R}$ , teda funkciu

$F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ takú, že
platí $\forall x \in \mathbb{R}:F'(x)=\frac{1}{2\sin{x}+3}$ .

substitúcia $\tan{\frac{x}{2}}=t$ neberie do úvahy body, kde $x=(2k+1)\pi$ pre nejaké $k \in \mathbb{Z}$ ,
lebo tam funkcia $\tan{\frac{x}{2}}$ nie je definovaná,
takže najprv úlohu vyriešime len na nejakom intervale $x\in\bigg((2k-1)\pi,(2k+1)\pi\bigg)$ (napr. pre $k=0$ je to interval $(-\pi,\pi)$ )

substitúcia prebehne nasledovne
$x=2\,\mathrm{arctan}\,{t}$
$\mathrm{d}x=\frac{2 \mathrm{d}t}{1+t^2}$

teda po dosadení do zadania dostaneš nový integrál

$\int \frac{\mathrm{d}x}{2\sin{x}+3}\stackrel{subst.}{=}\int \frac{\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^2}}{2\sin{(2\,\mathrm{arctan}\,{t})}+3}$

menovateľ je trochu škaredý a pomerne nepoužiteľný, takže by to chcelo nejakú úpravu:

platí $\sin(2\,\mathrm{arctan}\,t)=2\sin{(\mathrm{arctan}\,t)}\cos{(\mathrm{arctan}\,t)}$ podľa vzťahu $\sin{(2\varphi)}=2\sin{\varphi}\cos{\varphi}$

na obrázku je pravouhlý trojuholník s odvesnami dĺžky $1$ a $x$ a preponou dĺžky $\sqrt{1+x^2}$ ,
kde jeden z uhlov označíme $\theta$ .

v trojuholníku na obrázku platí $\tan{\theta}=x$ (pomer strán protiľahlej a priľahlej odvesny)
teda $\theta=\mathrm{arctan}\,x$

takisto je vidno že $\cos{(\mathrm{arctan}\,x)}=\cos{\theta}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ a $\sin{(\mathrm{arctan}\,x)}=\sin{\theta}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ .

Toto môžme využiť, máme teda

$\sin{x}\stackrel{subst.}{=}\sin{(2\,\mathrm{arctan}\,t)}=2\sin{(\mathrm{arctan}\,t)}\cos{(\mathrm{arctan}\,t)}=2\,\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{2t}{1+t^2}$ TOTO je vzťah čo uviedol MAW

preto sa pri tejto substitúcii môže rovno $\sin{x}$ nahradiť zlomkom $\frac{2t}{1+t^2}$

v integráli potom máme teda už krajší výraz

$\int \frac{\mathrm{d}x}{2\sin{x}+3}\stackrel{subst.}{=}\int \frac{\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^2}}{2\cdot\frac{2t}{1+t^2}+3}=\dots=\frac{2}{3}\int \frac{\mathrm{d}t}{t^2+\frac{4}{3}t+1}=\frac{2}{3}\int \frac{\mathrm{d}t}{(t+\frac{2}{3})^2+\frac{5}{9}}$

Po lineárnej substitúcii $t+\frac{2}{3}=u\,\,,\,\,dt=du$ počítame

$\frac{2}{3}\int \frac{\mathrm{d}u}{u^2+(\frac{\sqrt{5}}{3})^2}=\frac{2}{\sqrt{5}}\mathrm{arctan}\,\frac{3u}{\sqrt{5}}+c=\frac{2}{\sqrt{5}}\,\mathrm{arctan}\,\frac{3t+2}{\sqrt{5}}+c=\frac{2}{\sqrt{5}}\,\mathrm{\arctan}\,\bigg(\frac{3\tan{(\frac{x}{2})+2}}{\sqrt{5}}\bigg)+c$

na každom intervale $x\in\bigg((2k-1)\pi,(2k+1)\pi\bigg)\,;k\in\mathbb{Z}$ platí teda

$\int \frac{\mathrm{d}x}{2\sin{x}+3}=\frac{2}{\sqrt{5}}\mathrm{arctan}\,\bigg(\frac{3\tan{(\frac{x}{2})}+2}{\sqrt{5}}\bigg)+c$ $(\bigstar)$

pre $k=0$ funkcia ( pre $c=0$ ) vyzerá na $(-\pi,\pi)$ takto (označme ju $F_0(x)$ )

my chceme ale primitívnu funkciu na celej množine $\mathbb{R}$ ,
a tá musí byť všade diferencovateľná a spojitá (keďže je taká aj zadaná funkcia)

na prvý pohľad to nebude len periodické rozšírenie funkcie $F_0(x)$ ,
lebo platí $\lim_{x \to -\pi^+}F_0(x)\neq \lim_{x \to \pi^-}F_0(x)$

funkcie nájdené na intervaloch teda treba pozliepať v koncových bodoch tak, aby výsledná funkcia
$F(x)$ bola spojitá na celkom $\mathbb{R}$
(toto je trochu nevýhodná časť tejto substitúcie, ktorá neberie do úvahy všetky body)

stačí nájsť jednu primitívnu funkciu $F$ na celej množine $\mathbb{R}$ , a ostatné sa od nej budú líšiť už len o konštantu

začat môžme na intervale $(-\pi,\pi)$ , teda pre $k=0$
tu máme funkciu $F_0(x)$ (zvolili sme $c=0$ ) a chceme ju spojite rozšíriť na primitívnu funkciu k zadanej funkcii na interval $(-\pi,3\pi)$ .
Dodefinujeme $F_0(x)$ spojite v bode $\pi$ pomocou limity:
$F_0(\pi):=\lim_{x \to \pi^-}F_0(x)=\frac{\pi}{\sqrt{5}}$

Vieme, že na intervale $(\pi,3\pi)$ sú primitívne funkcie tvaru $\bigstar$ a platí
$\lim_{x\to \pi^+}\bigg[\frac{2}{\sqrt{5}}\mathrm{arctan}\bigg(\frac{3\tan{(\frac{x}{2})}+2}{\sqrt{5}}\bigg)+c\bigg]=c-\frac{\pi}{\sqrt{5}}$

keďže chceme $\frac{\pi}{\sqrt{5}}=c-\frac{\pi}{\sqrt{5}}$ , je $c=\frac{2\pi}{\sqrt{5}}$

na intervale $(\pi,3\pi)$ teda definujeme funkciu $F_1(x)=\frac{2}{\sqrt{5}}\mathrm{arctan}\,\bigg(\frac{3\tan{(\frac{x}{2})}+2}{\sqrt{5}}\bigg)+\frac{2\pi}{\sqrt{5}}$

a potom platí, že funkcia

$F(x):=\left\langle\begin{array}{ll}F_0(x)&x \in (-\pi,\pi)\\ \displaystyle{\lim_{x\to\pi^-}}F_0(x) &x=\pi\\ F_1(x) & x\in(\pi,3\pi)\end{array}\right.$

je primitívnou k funkcii $\frac{1}{2\sin{x}+3}$ na intervale $(-\pi,3\pi)$
(v bode $x=\pi$ totiž má aj deriváciu).

takýmto spôsobom sa dá rozširovať ďalej (na obe strany)

a jednou primitívnou funkciou teda bude napr.

$G(x):=\left\langle\begin{array}{ll}G_k(x)&x \in ([2k-1]\pi,[2k+1]\pi)\\ \lim_{x \to \pi+2k\pi^-}G_k(x) &x=(2k+1)\pi\end{array}\right.$

kde $\forall k \in \mathbb{Z}$ definujeme na intervale $([2k-1]\pi,[2k+1]\pi)$

$G_k(x):=\frac{2}{\sqrt{5}}\,\mathrm{arctan}\,\bigg(\frac{3\tan{(\frac{x}{2})}+2}{\sqrt{5}}\bigg)+\frac{2k\pi}{\sqrt{5}}$

primitívne funkcie k zadanej funkcii potom budú tvaru $G(x)+C\,,\,C\in\mathbb{R}$ .

fellipe · 21. 11. 2012 23:34

Obdivuji Vaši trpělivost s psaním postupu. Víceméně jsem pochopil postup až k výsledku, kde se dosadily substituce. Bližší vyšetření integrálu ve škole neděláme, tudíž ten zbytek je už nad rámec, ale vše jsem si pečlivě přepsal. Tak jako tak, bude to chtít spočítat ještě hodně příkladů tohoto typu.

Ještě jednou tedy děkuji a smekám před Vašimi znalostmi.

Lock. Vyřešeno...tohle za tu velkou donate sms určitě stojí:))

Matematické Fórum

#1 21. 11. 2012 00:43

Neurčitý integrál

#2 21. 11. 2012 01:12

Re: Neurčitý integrál

#3 21. 11. 2012 09:32

Re: Neurčitý integrál

#4 21. 11. 2012 16:10 — Editoval jardofpr (21. 11. 2012 16:13)

Re: Neurčitý integrál

#5 21. 11. 2012 23:34

Re: Neurčitý integrál

Zápatí