Matematické Fórum

Skumin · 09. 12. 2012 20:16

Ahoj, potřeboval bych poradit s řešením následujícího příkladu: $arccos(\frac{1}{1+x^{2}})$ . Mám vyřešit spojitost a derivaci. Pro $\forall x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ lze použít standardní vzorec pro derivaci funkce $arccos$ , ale když potřebuji vyšetřit derivaci v nule (zleva a zprava), musím použít definici. Po úpravách mi vychází $\lim_{h\to0\pm}\frac{arccos(\frac{1}{1+h^{2}})}{h}$ . Nevím ale, jak teď pokračovat, poradíte někdo? Předem děkuju.

Bati · 09. 12. 2012 21:06 — Editoval Bati (09. 12. 2012 21:06)

Ahoj,

čitatel i jmenovatel jdou k nule, tak co takhle použít l'Hospitala?
$\lim_{h\to0\pm}\frac{\text{arccos}\:(\frac{1}{1+h^{2}})}{h}=^?\lim_{h\to0\pm}\frac{-1}{\sqrt{1-$\frac1{1+h^2}$^2}}\cdot\frac{-2h}{(1+h^2)^2}=\ldots=\pm\sqrt2$

Také by šla použít věta o limitě derivací.

Skumin · 09. 12. 2012 21:19

↑ Bati: Díky, l'Hospital mě nějak nenapadl, jak jsem zvyklý, že bychom se měli snažit počítat bez něho :D

Skumin · 10. 12. 2012 10:26 — Editoval Skumin (10. 12. 2012 10:27)

↑ Bati: Tak jsem teďka zkusil příklad vypočítat l'hospitalem, ale nemůžu si pomoct, pořád mi vychází po "dosazení" nuly zlomek ve tvaru $\frac{0}{0}$ . A nedaří se mi to ani nijak upravit. Nemohl bys trochu rozepsat (aspoň "myšlenku") to, jak ses dostal k výsledku $\pm \sqrt{2}$ ? Díky.

Bati · 10. 12. 2012 14:23 — Editoval Bati (10. 12. 2012 14:23)

↑ Skumin:
$\lim_{h\to0\pm}\frac{-1}{\sqrt{1-$\frac1{1+h^2}$^2}}\cdot\frac{-2h}{(1+h^2)^2}=\lim_{h\to0\pm}\frac{2h}{\sqrt{\frac{2h^2+h^4}{(1+h^2)^2}}(1+h^2)^2}=\\ \lim_{h\to0\pm}\frac{2h}{|h|\sqrt{2+h^2}(1+h^2)}=\lim_{h\to0\pm}2\cdot\text{sgn}\:h\cdot\frac{1}{\sqrt{2+h^2}(1+h^2)}$

Už mi věříš? :)

Skumin · 10. 12. 2012 14:32

Už jo, díky :D

Piskotik · 13. 12. 2012 11:15

Ahoj, potřebovali bychom pomoci s vyřešením příkladu.

Máme vypočítat derivace podle této definice derivace: f´(x0) = $\lim_{x\to x0} \frac{f(x) - f(x0)}{x-x0}$

a) f(x) = ln x v bodě e

f´(e) = $\lim_{x\to e} \frac{ln (x) - ln(e)}{x-e} = \lim_{x\to e} \frac{ln\frac{x}{e}}{x-e}$
a dále nevíme, jak postupovat

b) f(x) = ln |x| v bodě -1

f´(-1) = $\lim_{x\to -1} \frac{ln|x| - 0}{x+1} =$ ... dále už také nevíme, jak dál s tou absolutní hodnotou

jelena · 13. 12. 2012 12:14

↑ Piskotik:

Zdravím,

poslechni si laskavý moderátorský proslov (naváži na proslovy kolegů) - máme celkem 6 bodů pravidel.

Dle bodu 2 si máš založit své vlastní téma a do tématu umístit pouze jednu úlohu. V tématu klidně může být odkaz na celou vaši sbírku, nebo celý soubor úloh - pro představu, co řešíte. Ale to si dej, prosím, do hide a diskutuj pouze jednu úlohu, co si vybereš.

Rozhodně věci neprospěji vkládat příspěvky do již vyřešených témat (viz pravidla) a také je proti pravidlům odstraňovat příspěvky, na které již někdo (zejména váženi Moderátoři) reagoval - viz Tvé první a jediné téma.

Pokud ještě něčemu z pravidel nerozumíš, tak se zeptej v sekci Připomínky. Děkuji za pochopení, konec laskavého proslovu.

Piskotik · 13. 12. 2012 13:08

↑ jelena:Téma sme si založili, bylo to nejšpíš špatně ... tak sme to napsali ke stejnému tématu (derivace dle definice) ... zde je to také špatně ... Úloha je jedna ... jen je to jednou s absolutní hodnotou ... chceme vědět rozdíl. Odkaz na celou sbírku sem dávat nemůžeme, jelikož většinu příkladů už máme vyřešenu.
Opravdu už nevíme, co tedy máme dělat ...

Skumin · 13. 12. 2012 13:15

↑ Piskotik: Co je zde špatně?

jelena · 13. 12. 2012 18:55

↑ Piskotik:

máte si zakládat své téma a v tématu všechno psát rovnou a jasně (původně jste ve svém tématu měli celou sbírku). Když provedete EDIT dle doporučení vážených Moderátorů, tak o tom, prosím, informujte v dalším příspěvku, ale ne formou mazání příspěvků, na které bylo reagováno.

V tomto tématu konec OT, pokračujte, prosím, ve svém tématu.

↑ Skumin: asi nic, téma máš vyřešeno :-)

Matematické Fórum

#1 09. 12. 2012 20:16

Derivace počítaná dle definice

#2 09. 12. 2012 21:06 — Editoval Bati (09. 12. 2012 21:06)

Re: Derivace počítaná dle definice

#3 09. 12. 2012 21:19

Re: Derivace počítaná dle definice

#4 10. 12. 2012 10:26 — Editoval Skumin (10. 12. 2012 10:27)

Re: Derivace počítaná dle definice

#5 10. 12. 2012 14:23 — Editoval Bati (10. 12. 2012 14:23)

Re: Derivace počítaná dle definice

#6 10. 12. 2012 14:32

Re: Derivace počítaná dle definice

#7 13. 12. 2012 11:15

Re: Derivace počítaná dle definice

#8 13. 12. 2012 12:14

Re: Derivace počítaná dle definice

#9 13. 12. 2012 13:08

Re: Derivace počítaná dle definice

#10 13. 12. 2012 13:15

Re: Derivace počítaná dle definice

#11 13. 12. 2012 18:55

Re: Derivace počítaná dle definice

Zápatí