Matematické Fórum

stac1 · 11. 12. 2008 17:17

Mohl by mi někdo poradit prosím, jak vypadá interval prosté fce u
y=ln(3x-2)-1

O.o · 11. 12. 2008 17:33

↑ stac1:

Ahoj :),

ta funkce je přeci celá prostá, ne?

Intervalem bych tedy volil její definiční obor.

stac1 · 11. 12. 2008 17:59

děkuji, jsem na fce slaboch:-)
a jak na tom budou tyhle dvě fce: y=(-x+2)/(2x-1) a y= -x^2+3x-3

O.o · 11. 12. 2008 18:24 — Editoval O.o (11. 12. 2008 18:44)

↑ stac1:

Mám to tušení ,že funkce je prostá právě tehdy, když pro dvě x různá ve znaméncích jsou jejich funkční hodnoty rozdílné. nebo se dá použít, že prostá funkce je ryze monotóní.

Takže:

$x_1 \ne x_2 \ => \ f(x_1) \ne f(x_2) \nl f(x) = \frac{-x+2}{2x-1} \nl Konkretne: \nl x_1=5, \ x_2=-5 \nl \frac{-5+2}{2 \cdot 5-1} \ ? \ \frac{5+2}{2 \cdot (-5)-1}$

Dořešíš mezi rovnice vložíš správné znaménko a nějak budeš vědět. Vkaždém případě to dosaď obecně, takhle konkrétně jsem ti to chtěl jen ilustrovat pro představu. Když bude platit to první co jsem psal, pak je funkce prostá.

EDIT: No a vidíš, hned tu druhou funkci jsem udělal špatně .). Teď jsem se, tak zblbnul, že koukám jak puk. Někde jsem udělal chybu, potřebuju něco k jídlu už mito nemyslí.. Když si nakreslíš graf, tak to poznáš podle toho, že prostou funkci můžeš protnout přímkou rovnoběžnou s osou x kdekoli a nikdy se ti nestane, že ji protneš dvakrát nebo vícekrát.

stac1 · 11. 12. 2008 20:02

No, myslím, že nejsem o moc chytřejší

Pavel Brožek

↑ O.o:

O.o napsal(a):
Mám to tušení ,že funkce je prostá právě tehdy, když pro dvě x různá ve znaméncích jsou jejich funkční hodnoty rozdílné. nebo se dá použít, že prostá funkce je ryze monotóní.

Nechápu co mají opačná x společného s prostotou funkce. (Nepleteš to se sudostí?)

Není asi nejlepší formulace "prostá funkce je ryze monotónní", platí

funkce je monotónní => je prostá,

opačná implikace ale neplatí.

↑ stac1:

Funkce je prostá, pokud platí $f(x)=f(y) \Rightarrow x=y$ . Upravuj rovnost

$\frac{-x+2}{2x-1}=\frac{-y+2}{2y-1}$

a skutečně ti po úpravách vyjde $x=y$ , takže funkce je prostá.

O.o · 11. 12. 2008 20:46

↑ BrozekP:

Ahoj :),

špatně jsem to formuloval, myslel jsem tím, že ryze monotóní funkce je prostou funkcí.

Nepletu to se sudostí, tohle mi poznamenal do testu jednou jeden vyučující, od té doby se mi to nějak zafixovalo.

Jen se chci zeptat, proč je někde: $x_1 \ne x_2 => f(x_1) \ne f(x_2)$ - platí pro prostou funkci a někde to co píšeš ty? Díky .)

Pavel Brožek

↑ O.o:

Protože platí

$(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow(\neg B\Rightarrow \neg A)$ .

Je to tedy ekvivalentní zápis, můžeš použít, co se zrovna hodí :-)

O.o · 11. 12. 2008 21:18

↑ BrozekP:

Tedy musel jsem si nejprve zjistit co znamenají ty symboly, ale díky moc. Takže mi akorát stačí vždycky zjistit, zda-li jsou si rovny ty dvě neznámé. Chápu tedy dobře z toho zápisu, že když je rovna funkční hodnota v jednom bodě funkční hodnotě v jiném bodě, tak z toho vyplývá, že jsou tyto dva body stejné (totožné)? Mne trohu mate to x=y, když jsou stejné, tak v grafu se pohybuji stále na jednom místě ne?

Díky moc .))

stac1 · 11. 12. 2008 21:53

jak určit inverzní fci, od těchto dvou fci, se dvěma argumenty x to předělat neumím
y=(-x+2)/(2x-1)
y= -x^2+3x-3

Pavel Brožek · 11. 12. 2008 21:53

O.o napsal(a):
↑ BrozekP:
Chápu tedy dobře z toho zápisu, že když je rovna funkční hodnota v jednom bodě funkční hodnotě v jiném bodě, tak z toho vyplývá, že jsou tyto dva body stejné (totožné)?

Když dokazujeme, že je funkce prostá, tak musíme ukázat, že to opravdu vyplývá. Uvedu dva příklady, myslím, že to pak bude jasnější. (Místo x a y budu značit $x_1$ a $x_2$ , je to tak asi přehlednější)

1. $f(x)=x^3+1$
Předpokládejme, že pro nějaká $x_1$ , $x_2$ platí $f(x_1)=f(x_2)$ a tedy

$x_1^3+1=x_2^3+1\qquad\Rightarrow\qquad x_1^3=x_2^3\qquad\Rightarrow\qquad x_1=x_2$

Dokázal jsem implikaci $f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$ pro všechny $x_1,\,x_2$ , funkce je tedy prostá.

2. $f(x)=x^3-2x^2+x$
Pokud bychom se z $f(x_1)=f(x_2)$ snažili dokázat $x_1=x_2$ , tak bychom jistě byli neúspěšní, protože to z toho neplyne (např. pro $x_1=0,\,x_2=1$ je $f(x_1)=0=f(x_2)$ , ale určitě neplatí $x_1=x_2$ )

O.o · 11. 12. 2008 22:50

↑ BrozekP:

Díky ti moc, takhle jsem to dělal původně, ale pořádně mi to nevycházelo .)

↑ stac1:
Nejprve zjisti, zda-li jsou funkce prosté, poté můžeš hledat inverzní funkci (pokud nejsou, tak prostá funkce není). Takže nejprve tu uakž, jak jsi postupoval se zjiěťěním prosté funkce (podle příspěvku od BrozekP - ještě jednou ti děkuji .)).

stac1 · 12. 12. 2008 13:45

↑ O.o:
to že jsou prosté vím už ze zadání, protože mám zjistit ten interval prosté fce a inverzní fci.....při počítaní inverzní fce u y=(-x+2)/(2x-1) mi vyšlo, že y= (x+2)/(2x+1) je to správně pro mé ujištění? :-)

O.o · 12. 12. 2008 15:58

↑ stac1:

Já ti nevím, na mne to zadání zase působí tak, jako by funkce prosté nebyly a naopak jsi měl(a) zjistit, kde prosté jsou (proto ty intervaly), takže bych sto procentně začínal určením, zda-li je funkce prostá či nikoli.

Předpis inverzní funkce k prosté funkci získáš vyjádřením nezávisle proměnné (x).

stac1 · 13. 12. 2008 19:52

↑ O.o:
kdyby profesor chtěl vědět jestli je fce, tak mi tam napíše: ,,urči, zda je fce prostá.´´ což v zadání nemám, navic, třeba fce sinx taky není celkově prostá, ale je prostá na některých částech např. na uzavřeném intervalu -pi/2;pi/2

O.o · 13. 12. 2008 19:54

↑ stac1:

Já spíš myslel, že chceš inverzní funkci k nějaké, která není prostá. Tam inverzní funkci prostě nezjistíš, proto jsem psal, že máš nejprve zjistit, na kterých intervalech jsou tyto funkce prosté a až poté zkoušet zjisti inverzní funkci. Nic víc .)

stac1 · 13. 12. 2008 20:11

↑ O.o:
tak to jsme se asi špatně pochopili :-) tedka snad poslední věc, když vycházi graf parabola, tak je jisté, že ta fce není prostá celkově, dokazuje to i to, co si říkal někdy ze začátku s tou rovnoběžnou přímkou s osou x, někde jsem vyčetla, že prostá fce je buď rostoucí nebo klesající, takže bych mohla použít jeden z těch intervalů jako interval prosté fce? teda jestli je to pravda?!

O.o · 13. 12. 2008 20:53 — Editoval O.o (13. 12. 2008 20:54)

↑ stac1:

Bingo!

To je to oč tu běží, respk. oč jsem psal v minulých příspěvcích ;). Chtěl jsem, abys zjistil, že funcke nebude prostá a tí mse dobral k odpovědi na původní otázku, kde jsi měl zjistit intervaly, kde je funkce prostá ;).

Udělej to, jak říkáš, vyber interval, kde je funkce pouze rostoucí a tam bude funkce prostá, analogicky s intervalem, kde bude pouze klesající ;)

EDIT: Když je funkce ryze monotoní, tak je prostá (tzn. když je pouze rostoucí nebo pouze klesající), ne naopak!

Matematické Fórum

#1 11. 12. 2008 17:17

Prostá fce

#2 11. 12. 2008 17:33

Re: Prostá fce

#3 11. 12. 2008 17:59

Re: Prostá fce

#4 11. 12. 2008 18:24 — Editoval O.o (11. 12. 2008 18:44)

Re: Prostá fce

#5 11. 12. 2008 20:02

Re: Prostá fce

#6 11. 12. 2008 20:28 — Editoval BrozekP (11. 12. 2008 20:33)

Re: Prostá fce

O.o napsal(a):

#7 11. 12. 2008 20:46

Re: Prostá fce

#8 11. 12. 2008 20:50 — Editoval BrozekP (11. 12. 2008 20:52)

Re: Prostá fce

#9 11. 12. 2008 21:18

Re: Prostá fce

#10 11. 12. 2008 21:53

Re: Prostá fce

#11 11. 12. 2008 21:53

Re: Prostá fce

O.o napsal(a):

#12 11. 12. 2008 22:50

Re: Prostá fce

#13 12. 12. 2008 13:45

Re: Prostá fce

#14 12. 12. 2008 15:58

Re: Prostá fce

#15 13. 12. 2008 19:52

Re: Prostá fce

#16 13. 12. 2008 19:54

Re: Prostá fce

#17 13. 12. 2008 20:11

Re: Prostá fce

#18 13. 12. 2008 20:53 — Editoval O.o (13. 12. 2008 20:54)

Re: Prostá fce

Zápatí