Matematické Fórum

davidvilla112 · 10. 03. 2013 19:28

Ahoj potřeboval bych pomoct nějak si nevím rady s tímto příkladem: Rovnoramenný lichoběžník má delší základnu AB délky 10 cm.Vypočtěte jak dlouhou má kratší základnu, víte-li že protažením ramen tak, že se protnou, vznikne trojúhelník ABV, který má dvakrát větší obsah než lichoběžník. a vyjde to 7,1cm. Děkuji za pomoc.

Arabela · 10. 03. 2013 20:15

Ahoj ↑ davidvilla112:,
označme výšku trojuholníka ABV ako v a výšku lichobežníka ABCD ako v1.
Z podobnosti trojuholníkov ABV a DCV platí
$\frac{x}{10}=\frac{v-v_{1}}{v}$
$\frac{x}{10}=1- \frac{v_{1}}{v}$
$\frac{v_{1}}{v}=1-\frac{x}{10}$
Z podmienky o obsahoch máme
$\frac{10v}{2}= 2.\frac{10+x}{2}.v_{1}$
$5v=(10+x)v_{1}$
$\frac{v_{1}}{v}=\frac{5}{10+x}$
Do tejto rovnosti dosadíme za v1/v:
$\frac{5}{10+x}=1-\frac{x}{10}$
po úpravách
$x^{2}=50$
$x=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\doteq 7,1$

davidvilla112 · 10. 03. 2013 20:42

↑ Arabela:uz to chápu děkuji

nejsem_tonda · 10. 03. 2013 20:53

Zdravim,
mimochodem se to da i "videt". Pokud je cloveku blizka uvaha, ze k-krat vetsi utvar ma $k^2$ -krat vetsi obsah, tak staci pozadavek ze zadani preformulovat:
ABV ma dvakrat vetsi obsah nez lichobeznik znamena, ze taky ABV ma dvakrat vetsi obsah nez CDV.

Protoze ABV a CDV jsou podobne trojuhelniky, je jejich pomer podobnosti $k$ takovy, aby $k^2=2$ . Strana CD je pak $k$ -krat mensi nez strana AB.