Matematické Fórum

Romans1

1. $\sin ^{2}(3x)=\frac{1}{2}$ ,kde $100^\circ <x<200^\circ$
2.Nájdi presné riešenia rovnice $2\cos^{2}x=\cos |x|$ na intervale $-\pi <x<2\pi$
3.Nájdi presné hodnoty $\sin \alpha$ , $\text{tg}\alpha$ , ak uhol $\alpha$ je tupý a $\cos \alpha =-\frac{1}{4}$

Takže neviete niekto ako riešiť rovnice tohot typu? Potrebujem to vedieť riešiť, nepotrebujem výsleodk týcht 3 príkladov. Vie mi niekto povedať ako sa to volá..resp. ešte lepšie, hodiť mi link, kde sa naučím takéto príkaldy počítať? DIk..

Freedy · 12. 03. 2013 17:36

K té jedničce:
$\sin ^{2}(3x)=\frac{1}{2}$
odmocníš rovnici:
$\sin (3x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$
$\sin (3x)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
A jednoše vyvodíš že 3x se musí rovnat:
$3x=\frac{\pi }{4}$ 3/4 pi, 5/4 pi a 7/4 pi, takže jednoduše:
$3x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}$

Romans1 · 12. 03. 2013 18:15

↑ Freedy:
ako si dostal 5/4pi a 7/4pi?
mne vychadza ze vysledok je x= $\frac{3}{4}\pi$

zdenek1 · 12. 03. 2013 18:39

↑ Romans1:
1.
$2\sin ^23x=1$
$2\sin ^23x=\sin ^23x+\cos ^23x$
$\cos ^23x-\sin ^23x=0$
$\cos 6x=0$
$6x=90^\circ+k\cdot 180^\circ$
$x=15^\circ+k\cdot 30^\circ$ (1)
$100^\circ<15^\circ+k\cdot 30^\circ<200^\circ$
$3\le k\le 6$

a z (1) určíš hodnoty

zdenek1 · 12. 03. 2013 18:43

↑ Romans1:

3.
$\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}$
Znaménko určuješ podle kvadrantu. Tupý úhel -> druhý kvadrant -> $\sin\alpha>0$ -> $+$

$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

zdenek1 · 12. 03. 2013 18:53

↑ Romans1:
2. Protože funkce kosinus je sudá funkce, platí $\cos|x|=\cos x$
takže
$2\cos^2x-\cos x=0$
$\cos x(2\cos x-1)=0$
vyřešíš, a potom buďto jako v 1. určíš množinu pro $k$ . Ale v tomto případě bys to musel udělat 3 krát, takže bych dal přednost tomu, načrtnout si graf a určit konkrétní hodnoty $k$ z grafu.

Romans1 · 12. 03. 2013 20:11

↑ zdenek1:
prečo ani len TYm ako moderator, necitas co som napisal ako prve? ja si prosim a to je moja otazka.LINK KDE SA TO NAUCIM POCITAT mne su tieto vypocty zatial nanic..ja cchem vediet kde sa to mozem naucit..ani enviem co je to k..

jelena · 12. 03. 2013 22:56

↑ Romans1:

Zdravím,

asi to nebylo přehledné, že chceš jen odkazy. V úvodním tématu sekce (vyznačeno červeně) jsou odkazy na materiály. Doporučuji elektronickou učebnici pana Krynického.

Také dobré se připravovat z knih - může být i staršího vydání (slovenskou literaturu moc neznám, proto se dívám, co má Novohradská knižnica - Poláka doporučuji, nebo se poptej u vás v knihovně - určitě doporučí.)

Stačí tak? Děkuji.

Romans1 · 12. 03. 2013 22:58

↑ jelena: dik:)

Romans1 · 13. 03. 2013 01:56

↑ zdenek1:
ku 1.
ako si z
$\cos ^23x-\sin ^23x=0$
dostal
$\cos 6x=0$ ?
a ctieto cisla zistim postupnym dosadzanim, že sa hodia, že?:) $3\le k\le 6$
ku 2. vobec neviem ako:/
a ku 3.
musi sa to nejako inak (kalkulacky niesu povolene)

zdenek1 · 13. 03. 2013 08:03

↑ Romans1:
Tvůj problém je, že nemáš základní znalosti goniometrických vztahů.
Takže pokud jde o AKO ?, nejdřív se ty vztahy nauč.
Až je budeš umět, tak je (možná) v těch rovnicích "uvidíš" a použiješ.
Je to stejné jako když máš např. výraz $4x^2-4x+1$ a máš ho upravit. Pokud v něm nevidíš vztah $(a-b)^2$ , nic s tím neuděláš.

Nyní konkrétně:
1. použil jsem vzorec $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos2\alpha$

2. $\cos x(2\cos x-1)=0$
je rovnice v součinovém tvaru. Její řešení je
$\cos x=0$ nebo $2\cos x-1=0$
To už jsou základní typy, jejichž řešení bys měl znát.

3. No ano, to je bez kalkulačky. V úvodní příspěvku jsi psal, že nechceš výsledky, tak jsem ti je nenapsal, ale tady stačí jen dosadit.

Takže: $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}$ (znaménko už je vyřešené)
$\sin \alpha =\sqrt{1-\left(-\frac14\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$
a to je odpověď. Pokud tě mate ta odmovnina, tak to je v matematice normální, ta už se numericky nepočítá.

Tangens už snad zvládneš.

Romans1 · 14. 03. 2013 17:23

↑ zdenek1: vzniesol si mi trochu svetla:)
Dakujem:)

Romans1

dakujem:)

Romans1 · 18. 03. 2013 13:56

↑ zdenek1:
Ešte jedna vec prosim ta:)
že, ked už viem výsledok..ako ho zapíšem?
$x=15^\circ+k\cdot 30^\circ$
a $3\le k\le 6$
to stačí? alebo ešte treba vypisovat že
$x=105^\circ$
$x=135^\circ$
$x=165^\circ$
$x=195^\circ$

vdaka..

jelena · 19. 03. 2013 00:14

↑ Romans1:

Zdravím, to je efektivní důkaz, když v tématu je více úloh a nikomu se nechce prohrabovat přes příspěvky :-)

V zadání je "řešte rovnici", tedy ponechat ještě v řešení nerovnici bych považovala za nedořešené, stačí připsat pro k=3, 4, 5, 6. A také to říká i kolega ↑ zdenek1:"a z (1) určíš hodnoty".

Jinak postupem kolegy ↑ Freedy: to také jde, ale bude větší práce se seřazováním kořenů do požadovaného intervalu. Dobré je také mít představu o grafu funkce $f(x)=\sin ^{2}(3x)$ , abys odhadl počet kořenů v zadaném intervalu. Řekla bych, že v tom dotyčném testu lepší napsat více a v případě odvolání se to dá použit, než nedopsat.

Je vyřešeno? Děkuji.

Romans1

↑ jelena:
Ešteže je tu niekto ako Jelena:)
No predstavu už ako tak mám, momentálne sa z tých materialov na realisticky.cz, čo si mi dala, učím goniometrické rovnice, nakolko sme ich este nerbali, ale, ako si sama videla, bývaju tam.:)
Naozaj vrelá vďaka a sorry za to večné otravovanie:)
P.S
$2\cos^{2}x=\cos |x|$
inak to čo mi vyšlo, možem zapisat aj takto?

$x=k\pi -\frac{\pi }{2}$ k=0,1,2

$x=2k\pi - \frac{\pi }{3}$ k=0,1

$x=2k\pi + \frac{\pi }{3}$ k=(-1),0
Správne je to takto zapisané, Jelena?:)

jelena · 19. 03. 2013 10:34

↑ Romans1:

:-) ani ne, jen mám zalíbení v úklidu - efekt 0, proces pěkný.

Bez omezení intervalu mi kořeny vyšly stejně:
$x=k\pi -\frac{\pi }{2}$ ,
$x=2k\pi - \frac{\pi }{3}$
$x=2k\pi + \frac{\pi }{3}$
pro k celé číslo. Když hledám v zadaném intervalu $-\pi <x<2\pi$ , tak také stejně, jen u posledního nejsi si jistý s k=-1, kořen $x=2\cdot (-1)\pi + \frac{\pi }{3}$ do zadaného intervalu nepatří - souhlasí?

Matematické Fórum

#1 12. 03. 2013 17:27 — Editoval Romans1 (12. 03. 2013 18:16)

Gonio. rovnice

#2 12. 03. 2013 17:36

Re: Gonio. rovnice

#3 12. 03. 2013 18:15

Re: Gonio. rovnice

#4 12. 03. 2013 18:39

Re: Gonio. rovnice

#5 12. 03. 2013 18:43

Re: Gonio. rovnice

#6 12. 03. 2013 18:53

Re: Gonio. rovnice

#7 12. 03. 2013 20:11

Re: Gonio. rovnice

#8 12. 03. 2013 22:56

Re: Gonio. rovnice

#9 12. 03. 2013 22:58

Re: Gonio. rovnice

#10 13. 03. 2013 01:56

Re: Gonio. rovnice

#11 13. 03. 2013 08:03

Re: Gonio. rovnice

#12 14. 03. 2013 17:23

Re: Gonio. rovnice

#13 17. 03. 2013 03:11 — Editoval Romans1 (18. 03. 2013 13:56)

Re: Gonio. rovnice

#14 18. 03. 2013 13:56

Re: Gonio. rovnice

#15 19. 03. 2013 00:14

Re: Gonio. rovnice

#16 19. 03. 2013 01:45 — Editoval Romans1 (19. 03. 2013 02:00)

Re: Gonio. rovnice

#17 19. 03. 2013 10:34

Re: Gonio. rovnice

Zápatí