Matematické Fórum

Ravala · 27. 05. 2013 10:59

Mohla bych prosit o rovnici tečny kuželosečky se členem xy? Nejsem si jistá jak přesně vypadá.

Rumburak · 27. 05. 2013 17:24

↑ Ravala:

A jak přesně vypadá ta rovnice kuželosečky se členem xy ? A co dalšího víme o té její tečně ?

Možnost by byla vhodným otočením soustavy souřadnic zařídit, aby "smíšený" člen xy z rovnice zmizel , v této soustavě
vyřešit rovnici tečny a tu pak převést do soustavy původní.

Existuje také obecnější věta, která říká, že tečna k hladké regulární křivce o rovnici $f(x, y) = 0$ v jejím bodě $T[u, v]$
je určena rovnici $f_x(T)(x-u) + f_y(T)(y-v) = 0$ (čísla $f_x(T), f_y(T)$ jsou parciální derivace fce $f$ v bodě $T$ ).

Ravala · 27. 05. 2013 17:30

↑ Rumburak:

Tak třeba x^{2} $+$ 3y^{2}$+2xy-4x+2y+2=0 pro p[0,1]

začátek vím x´x+3y´y+x´y+xy´... ale právě dál nevím mám rozdělit i x a y nebo je nechat tak jak jsou.

Rumburak

Toto $x'x+3y'y+x'y+xy'$ ale není parciální derivace funkce $x^{2}+3y^{2}+2xy-4x+2y+2=0$ .

Metody pro určování tečen závisejí na tom , zda je křivka určena soustavou parametrických rovnic $x = x(t) , y = y(t)$
nebo "implicitně" rovnicí $f(x, y) = 0$ .

V případě naší křivky $\Gamma$ jde o ten druhý případ, kdy $f(x, y) := x^{2}+3y^{2}+2xy-4x+2y+2$ . Zde můžeme postupovat
podle návrhu v mém předchozím příspěvku.

Tečna má patrně procházet bodem $P[0,1]$ , který na $\Gamma$ neleží. Neznámý bod dotyku nechť je $T[u,v]$ . Konkretní tvar její rovnice

(1) $f_x(T)(x-u) + f_y(T)(y-v) = 0$

dostaneme spočtením a dosazením parc. derivací:

$f_x(x,y) = 2x + 2y - 4$ , tj. $f_x(T) = 2u + 2v - 4$ ,
$f_y(x,y) = 6y + 2x + 2$ , tj. $f_y(T) = 2u + 6v + 2$ .

Když do takto modifikované rovnice (1) dosadíme $[x, y] = [0, 1]$ , dostaneme rovnici o dvou neznámých $u, v$ . Druhou rovnicí bude
$f(u, v) = 0$ . Z této soustavy spočteme souřadnice bodu $T$ .

Je možné, že tento výpočet nebude snadný. Další možností by bylo vyjádřit potenciální tečnu požadovaných vlastností v parametrickém
tvaru $X = P + t\vec{a}$ , kde $\vec{a}=(p, q)$ je neznámý nenulový vektor. Dosazením takto vyjádřených souřadnic bodu $X$ na
příslušná místa do rovnce křivky $\Gamma$ dospějeme k rovnici s neznámou $t$ a parametry $p, q$ . Na tuto rovnici položíme podmínku, aby byla
kvadratická s nulovým diskriminantem (tedy dvojnásobným reálným kořenem) - tak bude výchozí přímka tečnou kuželosečky $\Gamma$ .