Matematické Fórum

Ahoj,
když jsem jel nedávno v koloně napadla mě tato úloha:
Nechť je dána silnice, na které není možné předjíždět. Vždy po 1km je umístěno na této silnici jedno auto a počet aut něchť je . Rychlost auta je konstantní a je náhodná - je vybrána z rovnoměrného rozdělení. (Je celkem jedno jaká je maximální možná rychlost, ale řekněme, že se rychlost pohybuje mezi 0 (nevčetně) a 100 (nevčetně) km/h.) Po určité době tedy dojde k tomu, že auto, které jede za autem, které jede pomaleji, toto auto dojede, avšak nepředjede, a tedy musí zpomalit na jeho rychlost. Tak se vytvoří po určité době na silnici skupinky (shluky) aut, kdy každé auto, které jede bezprostředně za pomalejším autem, toto pomalejší auto dojede. Může být zajímavé zkoumat (a to je i zadání této úlohy), jaká je střední hodnota počtu takovýchto skupin a střední hodnota počtu aut v každé z těchto skupin v závislosti na hodnotě . Úlohu lze zjednodušit a zkoumat jen asymptotické hodnoty těchto středních hodnot - tj. pro velmi velké počty n.

(Např. pokud na 0.km je umístěno auto jedoucí rychlostí 10km/h, na 1.km je umístěno auto jedoucí rychlostí 11km/h a na 2.km je umístěno auto jedoucí rychlostí 5 km, pak po určité době vzniknou dvě skupiny aut, v první budou dvě auta (první a druhé) a ve druhé bude jedno auto (to třetí).)