Matematické Fórum

marse232 · 19. 08. 2013 20:12

Popište postup výpočtu objemu pravidelného osmistěnu, je-li dána vzdálenost vrcholů od těžiště. Nevím, jak postupovat pomocí vektorů a lineární algebry.

Jestli jste se setkali s podobnou úlohou, uvítám jakoukoliv radu.

Honzc · 20. 08. 2013 07:33 — Editoval Honzc (20. 08. 2013 07:35)

↑ marse232:
Já bych to řešil bez vektorů a lineární algebry.
Je potřeba si jenom uvědomit následující:
1. pravidelný osmistěn (jedno z Platovových těles) je tvořen 2-mi shodnými pravidelnými čtyřbokými jehlany (postavenými podstavami k sobě), jejichž stěny tvoří rovnostranné trojúhelníky.
2. protože je to pravidelný mnohostěn (osmi) je jisté, že vzdálenost těžiště od každého vrcholu je stejná, a je rovna polovině úhlopříčky čtvercové podstavy jednoho z těch čtyřbokých jehlanů uvedených v bodě 1.
3. označíme-li hranu osmistěnu $a$ , pak polovina úhlopříčky (to je i ta naše vzdálenost vrcholu od těžiště) je $r=\frac{a}{\sqrt{2}}$ (on je to totiž zároveň i poloměr koule opsané osmistěnu a také výška v jednom z těch pravidelných jehlanů)
4. Objem p.osmistěnu je zřejmě $V=\frac{2}{3}a^{2}v=\frac{2}{3}a^{2}\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}a^{3}$
5. dosadíme-li za $a=r\sqrt{2}$ dostaneme $V=\frac{\sqrt{2}}{3}(r\sqrt{2})^{3}=\frac{4}{3}r^{3}$ , což je mimochodem $\pi$ x méně než objem opsané koule tomuto Platonovu tělesu.

Cheop · 20. 08. 2013 07:45

↑ Honzc:
Zdravím, to že to jde řešit bez analytické geometrie jsi už ukázal.
Kolega ↑ marse232: to však chce právě pomocí analytiky

Honzc · 20. 08. 2013 09:19

↑ Cheop:
Čau,
tak asi tak ne.
Ještě to umím takto:
1. Umístěme p. osmistěn do KSS tak, že těžiště leží v počátku a jeden jeho vrchol má souřadnice $[r,0,0]$ , kde $r$ je ta zadaná vzdálenost.
Pak $V=8\int_{0}^{r}\int_{0}^{r-x}\int_{0}^{r-x-y}dxdydz=$
$=8\int_{0}^{r}\int_{0}^{r-x}(r-x-y)dxdy=$
$=8\int_{0}^{r}\frac{(r-x)^{2}}{2}dx=4\int_{0}^{r}(r-x)^{2}dx=$
$=4\int_{0}^{r}t^{2}dt=4[\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{r}=\frac{4}{3}r^{3}$

jelena · 20. 08. 2013 09:21

↑ Honzc:, ↑ Cheop:

Zdravím,

přesně toto téma zde již bylo, v 5. příspěvku je požadovaný postup + další odkazy (ale ač je téma označeno za vyřešené, tak se mi nezdá, že by bylo jasně dořešeno). No hlavně, že je označeno :-)

Honzc · 20. 08. 2013 09:53 — Editoval Honzc (20. 08. 2013 10:03)

↑ jelena:
Zdravím,
díky za objasnění, ale aby to nebylo tak jednoduché přidám ještě jeden výpočet.
1. P.osmistěn se dá (jak již bylo uvedeno výše) rozdělit na 8 shodných čtyřstěnů.
2. Pro výpočet objemu čtyřstěnu, známe-li souřadnice jeho vrcholů (a tedy i směrové vektory jeho hran) platí vzorec :
$V=\frac{1}{6}\begin{Vmatrix} x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1}\\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1}\\ x_{4}-x_{1} & y_{4}-y_{1} & z_{4}-z_{1} \end{Vmatrix}$
Náš případ: vrcholy jednoho z nich $[0,0,0],[r,0,0],[0,r,0],[0,0,r]$
$V=\frac{8}{6}\begin{Vmatrix} r & 0 & 0\\ 0 & r & 0\\ 0 & 0 & r \end{Vmatrix}=\frac{4}{3}r^{3}$

marse232 · 20. 08. 2013 10:22

↑ jelena:
Přesně s tímto postupem jsem se setkala, ale také se mi zdá nedořešený, nerozumím mu. Není z něho někdo chytřejší? Díky za všechny reakce.

Rumburak · 20. 08. 2013 10:48

↑ marse232:

Pravidelný osmistěn nechť má těžiště $T$ a stěnu $ABC$ , která je rovnostranným trojúhelníkem. Při tom $|TA| = |TB| = |TC| = u$ ,
kde $u > 0$ je dáno. Snadno nahlédneme, že v rovnoramenných trojúhelnících $ABT, BCT, CAT$ je při vrcholu $T$ vždy pravý úhel.
Objem osmistěnu bude zřejmě osminásobkem objemu pravidelného trojbokého jehlanu $ABCT$ s postavou $ABC$ a hlavním vrcholem $T$
Ten můžeme umístit do kartéské souřadnicové soustavy Pxyz tak, aby $T = P, A = [u, 0, 0] , B = [0, u, 0] , C = [0, 0, u]$ .

Nyní už můžeme použít metod AG. Spočítat délku podstavné hrany je snadné, výšku jehlanu dostaneme jako vzdálenost bodu $T$ od roviny $ABC$ .

Eratosthenes

↑ marse232:

Ahoj,

těžiště si umísti do počátku a označ dle obrázku:

$\text{\bf u} = (r;0;0)$ ; $\text{\bf v} = (0;r;0)$ ; $\text{\bf w} = (0;0;r)$ ;

Objem rovnoběžnostěnu s hranami v těchto vektorech je roven smíšenému součinu $( \text{\bf u}\times \text{\bf v} )\cdot \text{\bf w}$

Vyšel by ten determinant, který tam má ↑ Honzc:. V tomto případě není třeba ani počítat - tím rovnoběžnostěnem je v tomto případě krychle, takže vyjde $r^3$ . Čtyřstěn určený vektory u,v,w má poloviční základnu než ta krychle, takže kdyby to byl hranol, byl by objem $\frac 1 2 r^3$ . Ale je to jehlan, tj. při výpočtu jeho objemu je třeba navíc výšku dělit třemi, jeho objem je tedy $\frac 1 6 r^3$ . No v našem osmistěnu je ten jehlan osmkrát.

Honzc · 20. 08. 2013 11:13 — Editoval Honzc (20. 08. 2013 12:22)

↑ marse232:
Ještě jednou pozdrav,
pokusím se ho objasnit:
Vyjděme z krychle (rovnoběžnostěnu-to je pěkné slovo): ABCDEFGH.
Označíme-li směrové vektory $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ , $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$ , $\vec{w}=\overrightarrow{AE}$ , pak objem je $V=(\vec{u}\times\vec{v})\cdot \vec{w}$
A tedy objem čtyřstěnu ABDE bude $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}(\vec{u}\times\vec{v})\cdot \vec{w}=\frac{1}{6}(\vec{u}\times\vec{v})\cdot \vec{w}$
Pro p.osmistěn (složený z osmi stejných čtyřstěnů) je $V=\frac{8}{6}(\vec{u}\times\vec{v})\cdot \vec{w}$
Teď už jenom vyjádříme vektory:
$\vec{u}=(r,0,0),\vec{v}=(0,r,0),\vec{w}=(0,0,r)$
Pak $\vec{u}\times\vec{v}=(r,0,0)\times(0,r,0)=(0,0,r^{2})$
a $(\vec{u}\times\vec{v})\cdot \vec{w}=(0,0,r^{2})\cdot (0,0,r)=r^{3}$
a tedy objem p.osmistěnu bude $V=\frac{4}{3}r^{3}$