Matematické Fórum

Ginco · 29. 01. 2009 14:15

ahoj...nevi nekdo o dobre zpracovanym dukazu vety:

Z každé reálné posloupnosti lze vybrat monotonní podposloupnost. děkuji

Marian · 30. 01. 2009 13:01

↑ Ginco:

Přiznám se, že jsem hledal, ale nikde nenašel (nemám ale zrovna u sebe všechny knihy, do kterých bych se chtěl podívat). Napiš zdroj důkazu, ze kterého čerpáš ty. Pokud žádný takový důkaz nemáš, bylo by dobré takový důkaz napsat. Myslím si, že by to takový problém nemusel být.

Pavel · 30. 01. 2009 13:32

↑ Ginco:

Pokud mezi monotonní posloupnosti řadíš i konstantní posloupnosti, pak by to neměl být problém. Stačilo by vyjít z věty, která říká, že každá reálná posloupnost má alespoň jednu hromadnou hodnotu. Rozdělíš členy posloupnosti do tří disjunktních množin, členy které jsou menší, rovny nebo větší než tato hromadná hodnota. Alespoň jedna z těchto množin je nekonečná. A z ní budeš konstruovat monotonní podposloupnost. Tak nějak by to mohlo jít.

jelena · 30. 01. 2009 13:50 — Editoval jelena (30. 01. 2009 13:50)

Zdravím vás :-)

Otázkam s důkazy obvykle se snažím vyhnout, ale jen tak pro zajimavost, zjistila jsem, že tato otázka je docela populární na Východě. Jeden z důkazů je zde:

http://ru.dleex.com/read/?7275 - na str. 73. теорема 16

Jak je to důkaz kvalitní, neumím posoudit.

Ginco · 01. 02. 2009 15:45 — Editoval Ginco (01. 02. 2009 15:48)

↑ jelena:

Díky za link, ale azbuka mi dela trochu problem...

↑ Marian:

našel jsem tento důkaz...řeší se to přes "Peak Pointy" , ale nezda se mi to jako nejhezci dukaz

tedy důkaz .

máme posloupnost {a_n}, zadefinuju si p pojem Peak Point( dále jen PP ) := $(p\in{N}\wedge\forall{n\in{N}}:n>p \Rightarrow {a_n<a_p})$

Možnosti, ktere mohou nastat, při čemž může nastat právě jedna z nich :

1) existuje nekonečně mnoho PP : ostře rostoucí posloupnost {p_i}(i -> oo) => p_1 < p_2 < p_3 < ... =>a_{p1} > a_{p2} > a_{p3} > ...
což je podle mě dostatečný argument pro monotoonii posloupnosti

2)existuje konečně mnoho PP : {p_i}(i -> n)..zadefinuji si k_1 := P_{n} + 1 => k_1 není PP => $\exists{k_2}\in{N}: k_2 > k_1 \wedge a_{k_2} >= a_{k_1}$ =>
=> $\exists{k_3}\in{N}: k_3 > k_2 \wedge a_{k_3} >= a_{k_2}$

úplnou indukcí dostanu posloupnost {k_i}(i -> oo), která je ostře rostoucí a posloupnost a_{k_i}, která je rostouci( neklesající)

3) $\not{\exists} PP$ => k_i := 1 a dále viz 2)

může mi nekdo jen treba slovy vysvetlit ten princip? 1) jsem pochopil... horsi je s tou trojkou

Kondr · 01. 02. 2009 18:15

Důkaz se dá vést analogicky s důkazem Erdös-Szekereszovy věty. Viz http://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s … es_theorem

jelena · 02. 02. 2009 01:00

↑ Ginco:

Zdravím :-)

pokud to trochu pomůže, tak tady je veeeelmi neupravený překlad textu ze str. 73, pokud do mezer doplniš matematické zápisy, snad to bude dávat smysl:

Теорема 16 . Každá posloupnost reálných čísel obsahuje monotonní podposloupnost.

Рассмотрим множество.... - меjme množinu M:=…

Если М бесконечно и..... - Pokud M nekonečná a M =

то согласно определению множества М имеем..... - Pak v souladu s definici množiny M máme ---

строго возрастающую подпоследовательность.... - ostře rostoucí podposloupnost

Если М конечно, то пусть n(1) – наименьшее натуральное число такое, что.... - Pokud M je konečná množina, pak nechť n(1) – nejmenší přirozené číslo takové, že...

так как...- Jelikož n(1)...., то – tedy .....

аналогично, так как... и т.д. - analogicky, jelikož ..... atd.

Таким образом получим невозрастаюшую подпоследовательность.... - Тakto získáme nerostoucí podposloupnost.....

Moc se omlouvám za kvalitu tohoto překladu :-(

Matematické Fórum

#1 29. 01. 2009 14:15

dukaz vyberu monotonni podposloupnosti

#2 30. 01. 2009 13:01

Re: dukaz vyberu monotonni podposloupnosti

#3 30. 01. 2009 13:32

Re: dukaz vyberu monotonni podposloupnosti

#4 30. 01. 2009 13:50 — Editoval jelena (30. 01. 2009 13:50)

Re: dukaz vyberu monotonni podposloupnosti

#5 01. 02. 2009 15:45 — Editoval Ginco (01. 02. 2009 15:48)

Re: dukaz vyberu monotonni podposloupnosti

#6 01. 02. 2009 18:15

Re: dukaz vyberu monotonni podposloupnosti

#7 02. 02. 2009 01:00

Re: dukaz vyberu monotonni podposloupnosti

Zápatí