Matematické Fórum

GeorgeLD · 10. 02. 2014 17:10

Dobrý den,
rád by jsem se odkázal na tento článek:

http://www.scienceworld.cz/neziva-priro … nosti-701/

a trochu probral jednu věc.

Cituji:

Rodina xy má dvě děti, jedno z nich je dcera jménem Florida (nebo jiné málo běžné jméno vyskytující se třeba s frekvencí 1/1 000 000). Jaká je pravděpodobnost, že rodina má dvě dcery? Když už jsme se smířili s předcházejícím případem, zdá se, že i tady je pravděpodobnost 33 %, cožpak by specifikace jména mohla něco změnit? A zase špatně.
Pokud je jméno málo běžné, pak můžeme jako zanedbatelnou vyloučit pravděpodobnost, že by rodina měla dvě dcery jménem Florida (nehledě k tomu, že rodiče obvykle dávají svým dětem různá jména, aby je od sebe odlišili). Máme tedy k dispozici následující možnosti, které vyhovují zadání:
chlapec-Florida
Florida-chlapec
Florida-další dívka
další dívka-Florida
Zadání vyhovují dvě možnosti ze čtyř, pravděpodobnost je náhle 50 %.

Domnívám se, že výčet elementárnich jevů není správný:
1.) Pokud dám dívce ve slovní uloze jméno "Abrakadabračárymáryfuk", stoupne mi náhle pravděpodobnost výskytu dvou dívek na 50%?
2.) Podle mě došlo k logicky nekonzistentnímu rozdvojení el. jevu (dívka, dívka) na dva el. jevy (dívka 1, dívka 2) (divka 2, dívka 1)

Jestli má k tomu někdo co říct, děkuji :)

miroun · 12. 02. 2014 05:36 — Editoval miroun (12. 02. 2014 05:47)

To je samozřejmě nesmysl. Myslím, že autor článku si z nás "střílí". Jinak pravděpodobnost záleží na úhlu pohledu, přesněji řečeno na souhrnu předpokladů, ze kterých při výpočtu vycházíme. Proto tři lidé mohou dojít ke třem různým (správným) výsledkům. Například:

Člověk A: Nezná žádnou statistiku a proto vychází z předpokladu, že se může narodit stejně kluk jako holka. Jsou tři možnosti, jak se děti postupně narodily:
kluk, holka
holka, kluk
holka, holka
Takže pravděpodobnost z pohledu člověka A je 33%.

Člověk B: Podíval se do statistiky pro dané území a zjistil, že počet rodin které mají dceru a další dítě je 10000, zatímco počet rodin se dvěma dcerami je 3000. Odchylka může být dána třeba tím, že se rodí více či méně příslušníků určitého pohlaví, a to ještě v závislosti na tom, z kolikátého je dítě "vrhu".
Pravděpodobnost z pohledu člověka B je tedy 30%.

Člověk C: Zná danou rodinu a ví, že má dvě dcery.
Pravděpodobnost z pohledu člověka C je 100%.

Dalo by se říct, že pravděpodobnost je relativní veličina, podobně jako třeba rychlost.

LukasM · 13. 02. 2014 11:27

miroun napsal(a):
Dalo by se říct, že pravděpodobnost je relativní veličina, podobně jako třeba rychlost.

Tak to by se teda určitě říct nedalo. Samozřejmě že lidi co vycházejí z různých předpokladů dojdou k jinému výsledku, ale to je zkrátka proto, že každý počítají něco jiného.

miroun · 14. 02. 2014 13:04

každý počítají něco jiného

Každý počítá přesně to samé - pravděpodobnost, že druhé dítě je též dcera. Souhrn předpokladů, ze kterých se při výpočtu vychází, by se dalo považovat za vztažnou soustavu.

KennyMcCormick · 15. 02. 2014 20:16

↑ GeorgeLD:

Domnívám se, že výčet elementárnich jevů není správný

Je tam chyba, ale jiná, než jsi myslel. Chybí jen jeden elementární jev, tj. 2 dcery jménem Florida. Protože ale jméno Florida má velmi malou frekvenci výskytu f, a pravděpodobnost dvou dcer jménem Florida je rovna f na druhou, je to tak velmi malé číslo, že ho můžeme z výpočtu vypustit.

1.) Pokud dám dívce ve slovní uloze jméno "Abrakadabračárymáryfuk", stoupne mi náhle pravděpodobnost výskytu dvou dívek na 50%?

Ano, ale záleží na tom, jakou proceduru jsi použil k náhodnému vybrání rodiny.

Pokud jsi náhodně vybral rodinu s alespoň jednou dívkou, a poté zjistil, že se jejich dcera jmenuje Abrakadabračárymáryfuk, je pravděpodobnost dvou dívek v dané rodině rovna jedné třetině.

Pokud jsi náhodně vybral rodinu mezi všemi rodinami, jejichž jedna dcera se jmenuje Abrakadabračárymáryfuk, je pravděpodobnost výskytu dvou dívek v dané rodině rovna přibližně 50%.

2.) Podle mě došlo k logicky nekonzistentnímu rozdvojení el. jevu (dívka, dívka) na dva el. jevy (dívka 1, dívka 2) (divka 2, dívka 1)

To není nekonzistentní, protože možnosti
"dívka jménem Florida" + "jiná dívka"
a
"jiná dívka" + "dívka jménem Florida"
jsou vzájemně vylučující, a zároveň neplatí, že by mohla nastat možnost:
rodina má 2 dívky a zároveň se ani jedna z nich nejmenuje Florida

Je to všechno jasné?

↑ miroun:

To je samozřejmě nesmysl. Myslím, že autor článku si z nás "střílí".

Autor článku má pravdu, ale měl specifikovat, že jméno dcery je známé dopředu, a že ho nezjistíme až po výběru rodiny.

↑ LukasM:

miroun napsal(a):
Dalo by se říct, že pravděpodobnost je relativní veličina, podobně jako třeba rychlost.
Tak to by se teda určitě říct nedalo. Samozřejmě že lidi co vycházejí z různých předpokladů dojdou k jinému výsledku, ale to je zkrátka proto, že každý počítají něco jiného.

Pravděpodobnost je relativní v tom smyslu, že je vždy subjektivním stavem mysli daného člověka. Čím více informací o určitém problému máme, tím více se pravděpodobnost blíží 0% (nebo 100%).

Ale "skutečná" pravděpodobnost by byla vždy 0% nebo 100% podle toho, jestli je tvrzení pravdivé, nebo ne. To proto, že svět, ve kterém žijeme, je (alespoň na makroskopické úrovni) deterministický.

Pokaždé, když použijeme pravděpodobnost různou od 0% nebo od 100%, dáváme tím najevo, že máme o problému nekompletní informace, a pravděpodobnost označuje naši subjektivní jistotu.

Kdykoliv lidé při výpočtu pravděpodobnosti dojdou ke stejnému výsledku, je to tím, že mají k dispozici tutéž podmnožinu informací, a proto je jejich subjektivní míra jistoty stejná (což je vlastně totéž, co jsi psal ty, jen jinými slovy).

miroun · 16. 02. 2014 01:41

↑ KennyMcCormick:

Pokud jsi náhodně vybral rodinu mezi všemi rodinami, jejichž jedna dcera se jmenuje Abrakadabračárymáryfuk, je pravděpodobnost výskytu dvou dívek v dané rodině rovna přibližně 50%.

To je myslím hodně přibližné. Předpokládejme, že pravděpodobnost narození kluka nebo holky je při každém "vrhu" stejná. Potom jsou tři stejně pravděpodobné možnosti, jak se mohly děti postupně narodit:
- kluk, holka
- holka, kluk
- holka, holka
Každá z možností má pravděpodobnost 33%. Čtvrtá možnost (kluk, kluk) je vyloučena výběrem rodin, které mají aspoň jednu dceru. Je jedno, jestli zadefinujeme jméno dcery, nebo třeba příjmení, nebo barvu vlasů.

Pozn. Jiná situace by byla, kdybychom zadefinovali, že prvorozená dcera se jmenuje Abrakadabračárymáryfuk. Tím bychom totiž také definovali, že první dítě je dcera. Potom by nám vypadla další možnost (kluk, holka).

Pokaždé, když použijeme pravděpodobnost různou od 0% nebo od 100%, dáváme tím najevo, že máme o problému nekompletní informace, a pravděpodobnost označuje naši subjektivní jistotu.

Díky, sám bych to lépe neřekl.

Miroun

Pavel Brožek

Trochu obecněji (je to jen podrobně rozepsaný jednoduchý výpočet):

Předpokládejme, že máme množinu rodin s dvěma dětmi a pokus je výběr jedné rodiny. Označme si jevy:

$H$ - dítě je holka
$V$ - dítě má nějakou danou vlastnost (např. jmenuje se Florida nebo např. má dvě oči)
$H_1$ - první dítě je holka
$H_2$ - druhé dítě je holka
$V_1$ - první dítě má tu danou vlastnost
$V_2$ - druhé dítě má tu danou vlastnost

A ptáme se: jaká je pravděpodobnost, že vybraná rodina má dvě holky, pokud jedno jejich dítě je holka a má danou vlastnost?

Zajímá nás tedy pravděpodobnost (předpokládáme, že pravděpodobnost, že rodina má holku s danou vlastností je nenulová)

$p=P(H_1\cap H_2|(H_1\cap V_1)\cup(H_2\cap V_2))$

použiju definici podmíněné pravděpodobnosti

$p=\frac{P(H_1\cap H_2\cap((H_1\cap V_1)\cup(H_2\cap V_2)))}{P((H_1\cap V_1)\cup(H_2\cap V_2))}=\nl =\frac{P((H_1\cap H_2\cap V_1)\cup(H_1\cap H_2\cap V_2))}{P((H_1\cap V_1)\cup(H_2\cap V_2))}=\nl =\frac{P(H_1\cap H_2\cap V_1)+P(H_1\cap H_2\cap V_2)-P(H_1\cap H_2\cap V_1\cap H_1\cap H_2\cap V_2)}{P(H_1\cap V_1)+P(H_2\cap V_2)-P(H_1\cap V_1\cap H_2\cap V_2)}=\nl =\frac{P(H_1\cap H_2\cap V_1)+P(H_1\cap H_2\cap V_2)-P(H_1\cap H_2\cap V_1\cap V_2)}{P(H_1\cap V_1)+P(H_2\cap V_2)-P(H_1\cap H_2\cap V_1\cap V_2)}$

Jednotlivé pravděpodobnosti ve výrazu si nyní upravíme. Předpokládejme nezávislost prvního a druhého dítěte.

$P(H_1\cap H_2\cap V_1)=P(H_1\cap V_1)P(H_2)$
$P(H_1\cap H_2\cap V_2)=P(H_2\cap V_2)P(H_1)$
$P(H_1\cap H_2\cap V_1\cap V_2)=P(H_1\cap V_1)P(H_2\cap V_2)$

Dále předpokládejme, že pohlaví dítěte a to, jestli má danou vlastnost, nezáleží na tom, jestli bylo narozené jako první nebo druhé, tedy

$P(H_1\cap V_1)=P(H_2\cap V_2)=P(H\cap V)$
$P(H_1)=P(H_2)=P(H)$

Celkově

$p=\frac{P(H\cap V)P(H)+P(H\cap V)P(H)-P(H\cap V)^2}{P(H\cap V)+P(H\cap V)-P(H\cap V)^2}=\nl =\frac{2\frac{P(H\cap V)}{P(H)}P(H)-$\frac{P(H\cap V)}{P(H)}$^2P(H)}{2\frac{P(H\cap V)}{P(H)}-$\frac{P(H\cap V)}{P(H)}$^2P(H)}=\nl =\frac{2P(V|H)P(H)-P(V|H)^2P(H)}{2P(V|H)-P(V|H)^2P(H)}=\nl =P(H)\frac{2-P(V|H)}{2-P(V|H)P(H)}$

Jestliže přijmeme $P(H)=\frac12$ , tak dostaneme:

$p=\frac{2-P(V|H)}{4-P(V|H)}$

Poku je daná vlastnost u holek velmi nepravděpodobná (jmenuje se Florida, má jen jedno oko, …), tedy $P(V|H)\to0$ , pak $p\to\frac{2-0}{4-0}=\frac12$ . Naopak, pokud je vlastnost u holek skoro jistá (má nějaké předem neurčené jméno, má dvě oči, …), tedy $P(V|H)\to1$ , pak $p\to\frac{2-1}{4-1}=\frac13$ .

Jestliže máme např. nějakou vlastnost, kterou má polovina holek (mohly by to být třeba hnědé oči, nevím…), pak bude pravděpodobnost mezi 1/2 a 1/3: pro $P(V|H)=\frac12$ je $p=\frac37$ .

miroun · 16. 02. 2014 21:05

↑ Pavel Brožek:

použiju definici podmíněné pravděpodobnosti

Jevy $H_1$ a $H_2$ nejsou závislé na jevech $V_1$ a $V_2$ . Proto nelze použít uvedený vzorec.

Miroun

Pavel Brožek · 16. 02. 2014 21:57

↑ miroun:

Připomínku nechápu. $H_1$ klidně může i nemusí být závislé na $V_1$ , to nehraje roli v tom, co jsem psal.

Použil jsem definici podmíněné pravděpodobnosti $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ pro $P(B)\neq 0$ , tenhle vztah platí bez ohledu na to, jestli jsou jevy A a B nezávislé nebo ne. Pokud budou nezávislé, pak dokonce $P(A|B)=P(A)$ , ale to jsem nepoužil…

miroun · 17. 02. 2014 01:31

OK, asi jsem reagoval trochu urychleně. Je to opravdu tak, jak psali ↑ KennyMcCormick: a ↑ Pavel Brožek: - vzorec je správně.

Snažil jsem se přijít na nějaké vysvětlení "selským rozumem" a nakonec se mi podařilo najít (pro mě) lépe pochopitelné přirovnání se vzácnou nemocí. Pokud by se dělala statistika mezi rodinami, kde aspoň jedna dcera má vzácnou nemoc, potom by se ve statistice rodiny s $n$ dcerami objevovaly přibližně $n$ krát více oproti běžné populaci.

Takže se omlouvám za drobnou mystifikaci

Miroun

GeorgeLD · 08. 03. 2014 17:17

↑ KennyMcCormick:

Děkuji za vysvětlení, už ta chápu. Takže je to trošku chyták a v podstatě jestli tomu rozumím, zda-li se jmenuje dcera Florida nemá vůbec žádný vliv na výsledek, důležité je zde: "ze všech rodin se dvěmi dětmi, kde jedna je dcera", je pravděpodobnost, logicky, 50%, že zde budou dvě dcery a míchat do toho jméno nemá pak žádný vliv a z článek tím trochu mate.

KennyMcCormick · 11. 03. 2014 12:20

Bohužel to má vliv - když budeš vybírat rodinu náhodně ze všech rodin, které mají alespoň jednu dceru, je pravděpodobnost výběru rodiny se dvěma dcerami rovna jedné třetině. V tom článku to napsali správně:

Scienceworld napsal(a):
Ve skutečnosti mohou být dvě děti nakombinovány takto:
syn-syn
dcera-dcera
dcera-syn
syn-dcera
První možnost můžeme vyloučit, zbývají tři další. Obě dcery se vyskytují v jednom případu ze tří, pravděpodobnost je tedy 1/3.

Je na tom jejich vysvětlení něco nejasného?

vanok · 11. 03. 2014 13:18 — Editoval vanok (11. 03. 2014 15:22)

Nie, je to jasne, je to je spravna uvaha. Ide o pomer priaznivych pripadov ( tu je jeden) a moznych pripadov( tu su 3).
Da sa to riesit aj vdaka podmienecnym pravdepodobnostiam ( Bayes).

Podobne situacie na pomotanie ludi sa daju vymysliet ked hadzeme dve kocky...

No teraz lahlo najdete odpoved na otazku : aka je pravdebodobnost ze jedna rodina zo 4 detmi ma dve dcery a dvoch synov?

KennyMcCormick · 12. 03. 2014 19:26

už to nechci řešit, myslím že jsem se stal obětí slovíčkaření :D

Je to jenom jednoduchá úloha na podmíněnou pravděpodobnost :-). Ale jestli to už nechceš řešit, tak OK. Kdyby sis to rozmyslel a chtěl se ještě na něco zeptat, klidně dej vědět.

Matematické Fórum

#1 10. 02. 2014 17:10

Pravděpodobnost - dcera jmenem Florida

#2 12. 02. 2014 05:36 — Editoval miroun (12. 02. 2014 05:47)

Re: Pravděpodobnost - dcera jmenem Florida

#3 13. 02. 2014 11:27

Re: Pravděpodobnost - dcera jmenem Florida

miroun napsal(a):

#4 14. 02. 2014 13:04

Re: Pravděpodobnost - dcera jmenem Florida

#5 15. 02. 2014 20:16

Re: Pravděpodobnost - dcera jmenem Florida

miroun napsal(a):

#6 16. 02. 2014 01:41

Re: Pravděpodobnost - dcera jmenem Florida

#7 16. 02. 2014 13:55 — Editoval Pavel Brožek (16. 02. 2014 14:01)

Re: Pravděpodobnost - dcera jmenem Florida

#8 16. 02. 2014 21:05

Re: Pravděpodobnost - dcera jmenem Florida

#9 16. 02. 2014 21:57

Re: Pravděpodobnost - dcera jmenem Florida

#10 17. 02. 2014 01:31

Re: Pravděpodobnost - dcera jmenem Florida

#11 08. 03. 2014 17:17

Re: Pravděpodobnost - dcera jmenem Florida

#12 11. 03. 2014 12:20

Re: Pravděpodobnost - dcera jmenem Florida

Scienceworld napsal(a):

#13 11. 03. 2014 13:18 — Editoval vanok (11. 03. 2014 15:22)

Re: Pravděpodobnost - dcera jmenem Florida

#14 11. 03. 2014 15:22 — Editoval GeorgeLD (11. 03. 2014 15:35) Příspěvek uživatele GeorgeLD byl skryt uživatelem GeorgeLD. Důvod: už to nechci řešit, myslím že jsem se stal obětí slovíčkaření :D

#15 12. 03. 2014 19:26

Re: Pravděpodobnost - dcera jmenem Florida

Zápatí