Matematické Fórum

Nattramet · 13. 02. 2009 16:33

Ano, dnes mám asi filosofický den ...

Snad z definice nějaké plyne, že 0! je 1? .. Mně to nejde do hlavy ... Vždyť :

4! = 4*3*2*1
3! = 3*2*1
2! = 2*1
1! = 1
_________________
0! = - nebo 0 ...

Nejde mi do hlavy, proč "=1" platí i pro jedničku i pro nulu ... 0! by vůbec neměl existovat ... Faktoriál je součin n * (n-1) * (n-2) * ... * 1 ... Nebo špatně to píši asi, tak slovy- dané číslo krát PŘEDCHÁZEJÍCÍ krát předcházející předcházejícího atd až krát 1 ... takže tedy 0! by muselo být 0 * předcházející ... Ale ona je to jednička a jednička přeci nule nepředchází :-(

Pavel Brožek · 13. 02. 2009 16:42

Nevidím důvod, proč by mělo být 0!=0. Naopak 0!=1 má své dobré důvody. Faktoriál je definovaný jako

$n!=\prod_{k=1}^nk$ ,

když bude n=0, tak nic nenásobíš, zůstane tedy ze součinu jednička. (Je to analogické tomu když sčítáš a zůstane nula.)

Nattramet · 13. 02. 2009 17:00

Takže můj nesouhlas vyvrací jen definice. Díky

Pavel Brožek

↑ Nattramet:

Tak jsem to nemyslel. Chtěl jsem definicí ukázat, že je přirozené, že platí 0!=1. Má to spoustu hezkých vlastností, které by faktoriál s 0!=1 neměl. Např. se dá vyjádřit pomocí gamma funkce $n!=\Gamma(n+1)$ . Také pak můžeme zavést ${n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ pro $n\geq k\geq0$ a jednoduše ho používat v binomické větě...

Nebo pokud znáš n!, tak (n+1)! získáš tak, že n! vynásobíš (n+1). Co kdybychom to vzali obráceně. Znáš n!, pak (n-1)! bude n! vydělený n. Pro n=1 nám tento postup dá 0!=1!/1=1.

Marian · 13. 02. 2009 18:52 — Editoval Marian (13. 02. 2009 18:55)

↑ BrozekP:
Ve tvém příspěvku je cítit definice faktoriálu pomocí rekurence. Jen bych podotkl, že všeobecnou definicí faktoriálu je definice pomoci integrálu. De facto se definuje takto funkce Gamma(z), kterou uvádíš také. Definujeme
$(z-1)!=\Gamma (z):=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t,\qquad\Re (z)>0.$
Odtud snadným výpočtem (a zde i limitním přechodem)
$0!=(1-1)!=\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t=1,$
což je hodnota, o které se tady hovoří.

Pavel Brožek · 12. 10. 2009 00:36

↑ Marian:

Je obecně definice pomocí rekurence nějak méněcenná? (Trochu z tvého příspěvku mám takový pocit.) Jestliže nezapomenu uvést definici pro nějaké konkrétní n, tak na ní nevidím nic špatného. Měl bych snad?

Oxyd · 12. 10. 2009 00:46

Snad základní použití faktoriálu je na počítání permutací. Na otázku, kolika způsoby je možné rozesadit pět žáků do řady vedle sebe, je přirozená odpověď 5!. No ale kolika způsoby můžeme rozsadit nikoho? No jednim, ne? Prostě nikoho nikam neumístíme (protože ani nemáme koho kam umisťovat), a to je ten způsob.

Mně osobně výše uvedené připadá jako nejsrozumitelnější odůvodnění faktu, že 0! = 1. I když 0! vždycky vede na nějaký krajní až patologický případ, takže se to možná trochu špatně představuje -- ale o tom ta matika je. x)

Marian · 12. 10. 2009 13:55

↑ BrozekP:

Šlo mi pouze o obecnější definici, která funguje i v případě 0! bez nějaké úmluvy o této hodnotě. Vynikajícím způsobem je definice pomocí integrálu (viz výše), kt. funguje i pro komplexní čísla.

Méněcennost rekurze jsem napadat nechtěl (není jak ji napadat). Šlo skutečně o to, co jsem popsal o dva řádky výše. Pracuji dosti často s vyššími transcendentními funkcemi a pojem faktoriálu je pro mě pevně asociován s pojmem funkce GAMMA, která má zásadní vlastnosti pro některé aplikace, kde je zobecnění třeba. Lze pak tímto způsobem definovat třeba i (1/2)!, kde kombinatoricky nezmůžeme zhola nic.

Je tedy otázkou, z jakého aspektu přistupujeme k otázce, co je vlastně 0!.

Pavel Brožek · 12. 10. 2009 15:33

↑ Marian:

Díky za vysvětlení.

Pavel · 12. 10. 2009 19:03

Definujme faktoriál rekurentně,

$(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ pro $n\in\mathbb N$ . Rozšířme tuto definici i pro $n=0$ .

$(0+1)!=(0+1)\cdot 0!$ .

A tedy

$0!=\frac{1!}{1}=1.$

Pavel Brožek · 12. 10. 2009 19:12

↑ Pavel:

To je v podstatě stejný způsob jak ospravedlnit 0!=1 jako jsem uvedl ↑ BrozekP:.

Omlouvám se, že jsem nezaložil nové téma, takhle jsem asi rozpoutal zbytečnou debatu nad starým a už vyřešeným. Mně šlo pouze o tu rekurentní definici, nepřišlo mi nutné kvůli tomu zakládat nové téma. Ale příště už se pokusím dodržet druhý bod pravidel.

Blaholina · 17. 02. 2010 10:53

Ahoj jsem tu poprvé a potřebovala bych pomoci s maticema. Nějak mi to hlava nebere, nikdy jsem to neměla.
Příklady:
1. Určete determinant matice

1 0 1
A = ( 2 1 3 )
1 1 2

2. Gaussovou eliminační metodou řešte soustavu lineárních rovnic

3x1 + 2x2 - x3 = 4
-x1 - 2x2 + x3 = -2
2x1 + x2 - 3x3 = -5

3. Určete definiční obor funkce

f(x) = odmocnina 2x - 7 lomeno ln(x+3)

Díky za výpočty. Blanka

Tychi · 17. 02. 2010 10:54 — Editoval Tychi (17. 02. 2010 10:55)

↑ Blaholina:Viz má reakce zde: ↑Tychi

Matematické Fórum

#1 13. 02. 2009 16:33

Faktoriál

#2 13. 02. 2009 16:42

Re: Faktoriál

#3 13. 02. 2009 17:00

Re: Faktoriál

#4 13. 02. 2009 17:07 — Editoval BrozekP (13. 02. 2009 17:09)

Re: Faktoriál

#5 13. 02. 2009 18:52 — Editoval Marian (13. 02. 2009 18:55)

Re: Faktoriál

#6 12. 10. 2009 00:36

Re: Faktoriál

#7 12. 10. 2009 00:46

Re: Faktoriál

#8 12. 10. 2009 13:55

Re: Faktoriál

#9 12. 10. 2009 15:33

Re: Faktoriál

#10 12. 10. 2009 19:03

Re: Faktoriál

#11 12. 10. 2009 19:12

Re: Faktoriál

#12 17. 02. 2010 10:53

Re: Faktoriál

#13 17. 02. 2010 10:54 — Editoval Tychi (17. 02. 2010 10:55)

Re: Faktoriál

Zápatí