Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé středoškolské úlohy
- » Plocha mezi parabolou a tečnami (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#1 11. 02. 2009 18:45 — Editoval halogan (14. 02. 2009 17:28)
- halogan
- Ondřej
- Místo: UK
- Příspěvky: 4528
- Škola: IES FSV UK (09-12, Bc.)
- Pozice: student
- Reputace: 106
Plocha mezi parabolou a tečnami
Dobrého večera, mám tu takovou zajímavou úlohu.
Mějme parabolu a dvě její tečny, t_1 a t_2 (a jejich směrnice - k_1 a k_2) s tím, že
A teď se ptám: jaký je poměr mezi tou modrozelenou a žlutou částí? A proč :)
1) Ta šedá čára je kolmice na osu x, procházející průsečíkem tečen.
2) Celý obrázek může být rotován kolem osy x samozřejmě.
3) Obsah těch dvou částí může jít samozřejmě i nad osu x. Ten obsah tam také patří.
Jsem zvědav na vaše důkazy. Sám jsem to dokazoval dosti krkolomně.
Edit:
vzhledem k malému zájmu přidávám nápovědu:
A kdyžtak druhá nápověda:
---
Při použití těchto dvou nápověd je pak důkaz na pár řádků.
Offline
#2 11. 02. 2009 20:23 — Editoval lukaszh (11. 02. 2009 20:45)
Re: Plocha mezi parabolou a tečnami
. Pretože tvoj zápis -k_1 symbolizuje, že k_1 je kladné. Nech prvá dotyčnica je 
, aby som nemusel vypisovať celý zlomok. Obsah prvej oblasti je![$s_1=\int_{x_1}^{x_0}t_1(x)-p(x)\,\rm{d}x=\int_{x_1}^{x_0}p'(x_1)x+m_1-p(x)\,\rm{d}x=\left[\frac{p'(x_1)x^2}{2}+m_1x-P(x)\right]_{x_1}^{x_0}=\nl=\frac{p'(x_1)x_0^2}{2}+m_1x_0-P(x_0)-\frac{p'(x_1)x_1^2}{2}-m_1x_1+P(x_1)$](/mathtex/c5/c55f9a9ab493da7b2457e85285fd1f70.gif "kopírovat do textarea")
![$s_2=\int_{x_0}^{x_2}t_2(x)-p(x)\,\rm{d}x=\int_{x_0}^{x_2}p'(x_2)x+m_2-p(x)\,\rm{d}x=\left[\frac{p'(x_2)x^2}{2}+m_2x-P(x)\right]_{x_0}^{x_2}=\nl=\frac{p'(x_2)x_2^2}{2}+m_2x_2-P(x_2)-\frac{p'(x_2)x_0^2}{2}-m_2x_0+P(x_0)$](/mathtex/54/54390009b3ce7be45ddc623e3b789087.gif "kopírovat do textarea")
"The mathematical rules of the universe are visible to men in the form of beauty."
John Michel
Offline
#3 11. 02. 2009 20:39 — Editoval halogan (11. 02. 2009 20:42)
#4 11. 02. 2009 22:13 — Editoval BrozekP (11. 02. 2009 22:13)
- Pavel Brožek
- Místo: Praha
- Příspěvky: 5694
- Škola: Informatika na MFF UK
- Pozice: Student
- Reputace: 194
Re: Plocha mezi parabolou a tečnami
Offline
#6 21. 04. 2009 20:12
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé středoškolské úlohy
- » Plocha mezi parabolou a tečnami (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)