Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Ahoj,
nechť p,q jsou polynomy (v jedné proměnné) s celočíselnými koeficienty, které (ty koeficienty) jsou jak u p, tak u q nesoudělné. Nechť p dělí q, tj. q=p.r pro nějaký polynom r. Otázky (od nejsilnější k nejslabší):
1) Má potom r také nutně celočíselné koeficienty? (Zřejmě má r racionální koeficienty a otázka tedy zní, jsou-li dokonce všechny celočíselné.)
2) Jsou alespoň "první" a "poslední" koeficient (absolutní koeficient a koeficient u nejvyššího členu) u r celočíselné?
3) Platí 1) nebo 2), pokud je navíc p lineární?
Offline
Nech , . Polynomy splnaju predpoklady, ale nema racionalne korene, dokonca nema ani ziadne realne. Tie otazky vobec nesuvisia s vlastnostami korenov.
Nech , . Potom . Chceme, aby boli celociselne a otazka znie, ci potom su celociselne. Zjavne su racionalne, pisme a , kde a (kvoli celociselnosti ). Pritom a su nesudelitelne, a su tiez nesudelitelne, teda lubovolne 2 z cisel su nesudelitelne.
Ak ma byt tento zlomok celociselny, pre nesudelitelne musia byt oba zlomky ktorych je suctom celociselne (zober menovatel mod y, potom y deli kx). Z nesudelitelnosti dostavame ze a , takze plati 1).
Offline
↑ Xellos:
Ahoj, místo "kořeny" má být "koeficienty", děkuji za upozornění. zdá se mi, že to nedokazuješ pro obecné polynomy, ale jen pro lineární...?
Jinak když jsem včera usínal, tak mi došlo, že bod 1 je
Offline