Matematické Fórum

Skrytý text:

   Zkoušel jsem použít vzorec pro obsah (ta odmocnina k tomu přímo navádí .)) a nakonec i pro obvod (to mi trvalo těch pět minut -)).
Nedostal jsem, ale nic moc konečného. Všechno jsem to dal nějak dohromady a dostal jsem z toho nějaký součet, který jde do nekonečna. Nikdy jsem něcotakového neřešil, tak nevím co s tím, jediné co mne napadá, že by možná šlo nějaké použití limit, ale nevím jak (původně jsem myslel, že by z toho šla třeba udělat nějaká (aritmetická?) posloupnost a zkusit součet přes ni, ale moc to tak nevypadá .)).

   Tedy můj pokus skončil u:
, kde O_n je obvod n-té kružnice a O je součet obvodu všech kružnic (délka spirály, respk. ulity).
   Tu limitu jsem myslel pro r jdoucí k nule nebo nekonečnu (?).

Skrytý text:
Áno, zadanie je na to, aby sa z neho čerpali námety na riešenie :-) Teda ak sa v zadaní vyskytuje nejaký obsah, tak sa zíde nejaký vzorček na obsah :D Je pravda, že táto úloha vyžaduje trochu pokročilejší aparát riešenia stredoškolských úloh. Tvoj postup sa zatiaľ celkom... no vidím tam určitú odchýlku, pravdepodobne numerickú chybu. Skús si svoj postup prekontrolovať. Keďže sa zatiaľ nechytá nikto iný, úloha zrejme nebude jednoduchá, preto som sa rozhodol pridať novú pomôcku.

Skrytý text:
tak mějme



a ta délka půlkružnice je

takže máme


je pozdě, možná jsem špatně krátil.

a počítám s tím, že |q| < 1, to je celkem vidět (ne, dokazovat to nebudu).

Skrytý text:
Uvažuj za prvý člen postupnosti, oblúk najväčšej polkružnice. Teda , inak fajn :-) Pokús sa riešiť aj alternatívu.

Skrytý text:
On počíta to isté, len používa sumačné zápisy, čiže píše nekonečné súčty takpovediac vysokoškolským spôsobom. Ale už je na konci.

Skrytý text:


Poloměry tedy tvoří geometrickou posloupnost. Součet z toho vzniklé geometrické řady je


Ohledně souřadnice toho "středu":
Spirála začíná na x-ové souřadnici . Další průsečík dostaneme přičtením průměru první půlkružnice, tedy . Následující průsečík dostaneme odečtením průměru druhé půlkružnice, další přičtením třetí atd. x-ová souřadnice tedy bude


Velmi pravděpodobně jsem někde udělal chyby, ale principiálně to je takto.