Matematické Fórum

sepik · 15. 10. 2014 14:02

Dobrý den,

mám zadaný úkol"Sestrojte matici souměrnosti podle roviny: -y+z-4=0."

Byl bych vděčný, kdyby mi někdo pomohl vysvětli a pochopit problematiku. Děkuji

Formol · 15. 10. 2014 15:03

↑ sepik:
Hezký den,
pojem matice souměrnosti neznám, ale předpokládám, že to bude matice T taková, že y=Tx, pokud je y obrazem bodu x podle zadání. Asi existují i jiné způsoby výpočtu, ale takový poměrně přímočarý postup je ten, že analyticky popíšeš, jakým způsobem se transformuje libovolný bod A=(a1,a2,a3).

situaci ti ulehčuje tvar roviny, takže si to můžeš zakreslit do roviny yz, souřadnice x se transformací měnit nebude. Takže pak to bude takové hezké cvičení z analytické geometrie v rovině (máš přímku a bod a máš najít obraz bodu při symetrii podle přímky).

vanok · 15. 10. 2014 15:26 — Editoval vanok (15. 10. 2014 15:31)

Ahoj ↑ sepik:,
Co si skusil robit?
Ake mas studijne materialy?( ako inac pouzit oznacenia na ktore si zvyknuty)
Napis nam tvoje pokusy.

Tak ci tak ti dam metodu riesenia, a to vdaka geometrickemu pohladu na tvoj problem.
Tu ide o pracu v afinom priestore.
Mas danu rovnicu roviny: (R)-y+z=4
Potom tiez je dana aplikacia S ( ortogonalita symetria so vzladom k rovine (R))
Oznac obraz bodu M, M'= S(M)
Preto plati $-\frac { y+y'}2+\frac {z+z'}2=4$
(stred M,M'je v (R) )

$\vec{n}=(0,-1,1)$ je jeden normalny vektor roviny (R)

Dalej plati $\overrightarrow{MM'}=\alpha \vec{n}$ .

Vyuzi co som napisal vyssie a vyjadri analyticky S.

Édit: ahoj Formol, tvoj pristup je ozaj prva etapa na zaciate daneho problemu ( to by som cakal od kolegu, ako zaciatocny pokus...)

Eratosthenes · 15. 10. 2014 18:47

ahoj ↑ sepik:,

k této úloze se dá přistupovat různě. Já bych to třeba řešil v prostoru projektivním - projektivní zobrazení lze totiž skládat tak, že jednoduše násobíme jejich matice. Zobrazení bych dle pohledu proti směru osy x

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-10/91417_symetrie.png

složil z posunutí o vektor u, rotace o úhel - beta (-pi/4), souměrnosti podle roviny xy, rotace o úhel beta a posunutí o vektor -u. Je to sice součin pěti matic, ale matice jsou dostatečně "řídké" (obsahují spoustu nul), a tak by jejich vynásobení neměl být takový problém.

vanok · 15. 10. 2014 19:33

Pozdravujem.

Bolo by dobre aby v takychto otazkach pytatel dal jeho studiijny material.
Moja odpoved je vseobecne platna v afinnych euklidovskych priestoroch a uvedena metoda moze inspirovat aj ine transformacie takeho priestoru.

Ahoj ↑ Eratosthenes:,
Akoze, neviem na akych smeroch vysokej skoly sa vyucuje projektivna geometria, mozes ma o tom podrobne poucit. Dakujem.

Eratosthenes

ahoj ↑ vanok:,

konkrétně třeba na skládání zobrazení, anebo třeba na křivky a plochy určené pomocí řídicích bodů s různou váhou je projektivní prostor daleko výhodnější než afinní. Jsou-li například

$X^{'}= A_1\cdot X+v_1$

$X^{''}= A_2\cdot X'+v_2$

dvě afinní zobrazení, pak jejich složení je tvaru

$X^{''}= A_2\cdot (A_1\cdot X+v_1) +v_2$

a zvlášť při skládání většího počtu zobrazení je situace značně nepřehledná. V projektivním prostoru je každé kolineární zobrazení určeno jedinou maticí a skládání lze provádět pouhým násobením matic jednotlivých složek. Matice našeho zobrazení je tak tvaru

$A= \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -u_3\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos\beta & \sin\beta & 0\\ 0 & -\sin\beta & \cos\beta & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos\beta & -\sin\beta & 0\\ 0 & \sin\beta & \cos\beta & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & u_3\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right)$

kde je (odzadu) - posunutí o vektor $(0;0;u_3)$ , rotace kolem osy x o úhel beta (tím se rovina souměrnosti ztotožní s rovinopu xy), následuje souměrnost podle roviny xy a celá situace se musí "vrátit zpátky" - tj. následuje rotace o -beta kolem x a posunutí o vektor $(0;0;-u_3)$

vanok · 16. 10. 2014 14:39 — Editoval vanok (16. 10. 2014 15:21)

Ahoj ↑ Eratosthenes:,
Podla zadania, zda sa ze dane cvicenie je z afinej géométrie dim = 3.
(
Tvoja diskuzia o vyhodach pouzitia afinej, ci projektivnej geometrii je zaujimava pre citatelov.
Co pises kazdy by mal vediet. ( ale kto to vie skutocne?)
Moja otazka, je kde (na akych skolach v sk, cz) sa uci projektivna geometria.( a na akej urovni)

Matematické Fórum

#1 15. 10. 2014 14:02

Matice souměrnost

#2 15. 10. 2014 15:03

Re: Matice souměrnost

#3 15. 10. 2014 15:26 — Editoval vanok (15. 10. 2014 15:31)

Re: Matice souměrnost

#4 15. 10. 2014 18:47

Re: Matice souměrnost

#5 15. 10. 2014 19:33

Re: Matice souměrnost

#6 16. 10. 2014 12:52 — Editoval Eratosthenes (16. 10. 2014 12:53)

Re: Matice souměrnost

#7 16. 10. 2014 14:39 — Editoval vanok (16. 10. 2014 15:21)

Re: Matice souměrnost

Zápatí