Matematické Fórum

tommy · 06. 03. 2009 12:00 — Editoval tommy (06. 03. 2009 12:07)

Dobrý den přátelé, mám takový menší problém s příkladem (omlouvám se latex neovládám)

int(x^2-2)/(x^2+x-2)dx

výsledek má vyjít: x-2/3ln(x+2)-1/3ln(x-1)

Prosím vás tedy o postup při řešení, určitě je tento příklad triviální, nicméně nepochytil jsem ve výsledku ´x´ (samostatné) -> vyšlo mi 2/3ln(x+2)-1/3ln(x-1).

Děkuji.

Ivana · 06. 03. 2009 12:04

↑ tommy:Problém nevidím :-)

tommy · 06. 03. 2009 12:07

↑ Ivana: Trošku jsem zazmatkoval:-)

tommy · 06. 03. 2009 12:08

↑ tommy: + konstanta C samozřejmě:-)

Ivana · 06. 03. 2009 12:34

↑ tommy:Také mně nevyšlo , to co má , ale já jsem počítala takto :

Ivana · 06. 03. 2009 12:43

↑ tommy:To samotné x je pro mbe také záhadou, ledaže by se bral v úvahu viz oprava tady :

Pavel · 06. 03. 2009 13:01

↑ Ivana:, ↑ tommy:

Doporučil bych nejdříve vydělit písemně oba mnohočleny. Na zbytek po dělení pak aplikovat rozklad na parciální zlomky.

Marian · 06. 03. 2009 14:22

↑ Pavel:
Dělit není ani zapotřebí. Stejný efekt jako dělení dává tato snadná úvaha
$\frac{x^2-2}{x^2+x-2}=\frac{(x^2+x-2)-x}{x^2+x-2}=1-\frac{x}{x^2+x-2}.$

Marian · 06. 03. 2009 14:23 — Editoval Marian (06. 03. 2009 14:24)

↑ tommy:
Dělíš tehdy, když je stupeň polynomu v čitateli roven nebo větší než stupeň polynomu ve jmenovateli.

Edit: Vidím, že tommy stačil smazat příspěvek během několika vteřin. Já mazat ovšem nebudu :-)

tommy · 06. 03. 2009 14:24

Marian
Díky, měl jsem za to, že čitatel se neupravuje...

tommy · 06. 03. 2009 14:25

↑ Marian:
Jo takhle, byl jsem zase vedle, měl jsem za to, že dělím jen tehdy je li stupeň polynomu v čitateli větší.
Díky.

tommy · 06. 03. 2009 14:34 — Editoval tommy (06. 03. 2009 14:34)

↑ Marian:
Nevědel jsem, že se na mou otázku dostaví tak rychlá odpověď, proto jsem ho smazal, aniž bych vědel...

Pavel · 06. 03. 2009 14:55

↑ Marian:

Samozřejmě, máš pravdu. Dělení zabere vždy. Ve speciálních případech je však metoda "něco přičíst a něco odečíst" efektivnější než samotné dělení polynomů.

Marian · 06. 03. 2009 15:07

↑ Pavel:
Dělení se lze vyhnout navíc vždy, když stupeň polynomu v čitateli racionální funkce se rovná stupni polynomu v jejím jmenovateli. V případě, že stupeň čitatele je větší než stupeň jmenovatele, lze taktéž podobně obejít algoritmus dělení. Dělení je jistota hrubé síly.

Ivana · 06. 03. 2009 19:20

↑ Marian:Zdravím :-)

tak jsem to přepočítala a nemohu se dostat na tu ... $\frac{-1}{3}ln(1-x)$ .. :-(

pořád mi vychází $\frac{-2}{3}ln(1-x)$

Marian · 06. 03. 2009 19:31

↑ Ivana:
Nemáš dobře dekompozici na parciální zlomky. Má vyjít
$\frac{x}{x^2+x-2}=\frac{\frac{2}{3}}{x+2}+\frac{\frac{1}{3}}{x-1}.$
Navíc existuje rychlejší a hlavně snadnější cesta, jak se dostat ke koeficientům rozkladu na parciální zlomky, než je soustava lineárních rovnic (bohužel nemám zrovna čas). Takže projdi si rozklad, výsledek rozkladu jsem ti napsal.

Ivana · 06. 03. 2009 19:44

↑ Marian:Tak už mi to vyšlo. Děkuji za pomoc :-)

jelena · 06. 03. 2009 23:35

Zdravím vás :-)

chtěla jsem vás hlavně pozdravit, ale když už si mohu dovolit tu troufalost a doplnit výklad ↑ Mariana: :-)

Marian napsal(a):
Navíc existuje rychlejší a hlavně snadnější cesta, jak se dostat ke koeficientům rozkladu na parciální zlomky...

Nevím, zda ta cesta má nějaký odborný název, ale princip je v tom, že vhodně zvolenou hodnotou x můžeme "odmazat" jeden z koeficientů A, B...

v tomto konkrétním zadání se dostaneme na zápis:

x=A(x-1) +B(x+2)

zvolím x=1, čímž v závorce (x-1) bude 0 a koeficient A na chvilku "odstranim"

1 = B(1+2), odsud B = 1/3

zvolím x=-2:

-2 = A(-2-1), odsud A = 2/3.

----------------------------

Samozřejmě, předpokládám, že Marian navrhne něco zcela nečekaného, ale mám radost, že jsem mohla pozdravit vás v takto krasné sestavě, co se tady sešla v tématu :-)

Marian · 07. 03. 2009 10:47

↑ jelena:
Také zdravím! Myslel jsem ono dosazování, které je nejrychlejší pro výpočet koeficientů. Navíc se velice hodí v případě, pokud jsou kořeny rozkladu jednonásobné. V případě násobných kořenů lze použít ještě kombinaci předešlého s derivováním vztahu (podle x), do kterého dosazujeme nulové body lineárních faktorů, s tím, že dosadíme až po zderivování. Ale toto není tento případ.

jelena · 07. 03. 2009 13:06

↑ Marian:

S derivováním - myslíš zřejmě tuto metodu (Ostrogradského), kterou jsme diskutovali se strycem Robertem zde?

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=2869

Klidnou sobotu :-)

Pavel · 07. 03. 2009 15:20

↑ Marian:

V případe jednodušších nerozložitelných kvadratických výrazů, např. A(x^2+1), je možné za x dosazovat také komplexní čísla a eliminovat tak tyto výrazy.

Marian · 07. 03. 2009 16:20

↑ jelena:
Ostrogradského metodu nemyslím. Ale třeba při řešení úlohy nalezení koeficientů A, B, C a D ve výrazu
$x^2=Ax+Bx(x+1)+Cx(x+1)^2+D(x+1)^3$
bych nejprve vzal nulové body a jejich dosadil do takového vztahu. Tím se získají koeficienty A a D. Pak bych uvažovaný řádek zderivoval a znova dosadil nulový bod s vyšší násobností než je jedna. Vyhnu se tak řešení soustavy. Zpravidla se také dosazují i hodnoty koeficientů, které už známe, tady pak A, D.

↑ Pavel:
Nelze než souhlasit!

Pavel · 07. 03. 2009 17:04

↑ Marian:

Když tak dovozuji, z jakého integrálu jsi tu rovnici odvodil, bych v tom zlomku nejdříve pokrátil x a integrál řešil substitucí y=x+1 ;-))

Matematické Fórum

#1 06. 03. 2009 12:00 — Editoval tommy (06. 03. 2009 12:07)

Integrál racionální lomené funkce

#2 06. 03. 2009 12:04

Re: Integrál racionální lomené funkce

#3 06. 03. 2009 12:07

Re: Integrál racionální lomené funkce

#4 06. 03. 2009 12:08

Re: Integrál racionální lomené funkce

#5 06. 03. 2009 12:34

Re: Integrál racionální lomené funkce

#6 06. 03. 2009 12:43

Re: Integrál racionální lomené funkce

#7 06. 03. 2009 13:01

Re: Integrál racionální lomené funkce

#8 06. 03. 2009 14:22

Re: Integrál racionální lomené funkce

#9 06. 03. 2009 14:23 — Editoval Marian (06. 03. 2009 14:24)

Re: Integrál racionální lomené funkce

#10 06. 03. 2009 14:24

Re: Integrál racionální lomené funkce

#11 06. 03. 2009 14:25

Re: Integrál racionální lomené funkce

#12 06. 03. 2009 14:34 — Editoval tommy (06. 03. 2009 14:34)

Re: Integrál racionální lomené funkce

#13 06. 03. 2009 14:55

Re: Integrál racionální lomené funkce

#14 06. 03. 2009 15:07

Re: Integrál racionální lomené funkce

#15 06. 03. 2009 19:20

Re: Integrál racionální lomené funkce

#16 06. 03. 2009 19:31

Re: Integrál racionální lomené funkce

#17 06. 03. 2009 19:44

Re: Integrál racionální lomené funkce

#18 06. 03. 2009 23:35

Re: Integrál racionální lomené funkce

Marian napsal(a):

#19 07. 03. 2009 10:47

Re: Integrál racionální lomené funkce

#20 07. 03. 2009 13:06

Re: Integrál racionální lomené funkce

#21 07. 03. 2009 15:20

Re: Integrál racionální lomené funkce

#22 07. 03. 2009 16:20

Re: Integrál racionální lomené funkce

#23 07. 03. 2009 17:04

Re: Integrál racionální lomené funkce

Zápatí