Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Ahojte, mam velmi specificky problem. Dostal som za ulohu dokazat vlasnosti funkcie kosinus, mam dokazat pomocou derivacie a bolzanovej vety ze: Funkcia na intervale
dalej ze klesa na a ze nadobuda maximum v bodoch a minimum v bodoch Pomozete mi s tym? Vobec neiem ako na to, viem co hovori bolzanova veta, ale ako ju vyuzit s derivaciou? Prosim aspon o navod. Budem vam vdacny.
Offline
↑ geovektor:
Ahoj.
Záleží na tom, z jakých dalších vlastností funkcí sinus , kosinus se má vycházet - teorii těchto funkcí je možno
vybudovat vícero způsoby. Dejme tomu, že o funkci sinus již víme, že
(1) nabývá kladných hodnot na intervalech ,
(2) nabývá záporných hodnot na intervalech ,
(3) je spojitá
(při tom předpokládáme, že probíhá množinu všech celých čísel).
Potom z uvedených vlastností a Bolzanovy věty plyne, že sinus nabývá hodnoty 0 v krajních bodech uvedených
intervalů.
Z podmínky (1) plyne, že pro libovolné je , což dává
informaci o chování funkce cosinus na tomto intervalu stran monotonie. Podobně dále.
Ale vše bude záviset na tom, jak jste si funkce sinus, kosinus zavedli na vaší přednášce a co už o nich máte dokázáno.
Offline
Funkciu kosinus sme si zadefinovali pomocou tayloroveho radu, teda a myslim ze v tomto dokaze mozem pouzit to, ze viem na akom intervale funkcia sinus je rastuca a klesajuca (bez toho by sa to asi ani nedalo) dalej pozname derivaciu funkcie a bolzanovu vetu. To je vsetko a z toho musim vediet vyvodit dokaz no neviem ako na to.
Offline
↑ geovektor:
Ano, to je korektní definice funkce kosinus (dokonce v komplexním oboru).
Dále můžeme definovat a derivací řady pro kosinus dostaneme řadu pro sinus a pomocí ní
snadno zjistíme, že (tyto úvahy jsou založeny na patřičných větách z teorie mocninných řad).
Dosazením do jedné i druhé mocninné řady dostaneme
(1) .
Snadno zjistíme, že v libovolném bodě, tudíž funkce je konstantní.
Z (1) plyne pro libovolné .
Obdobným, ale poněkud složitěji provedným trikem se odvodí známé vzorce .
Dále bude nutno nějak odtud zavést číslo a zjistit průběh obou funkcí - je tedy zřejmé, že kompletní vybudování teorie
goniometrických funkcí uvedeným způsobem dá ještě dosti práce.
Mohu doporučit literaturu: Vojtěch Jarník: Diferenciální poet I.
Offline
↑ geovektor:
Jde o to, že musíme vědět něco o čísle . Ze vztahu a ze spojitosti funkce cosinus plyne,
že tato funkce nabývá kladných hodnot na některém okolí nuly, odkud plyne, že množina všech
takových , že funkce cosinus nabývá na pouze kladných hodnot , je neprázdná . Dá se
též ukázat, že je shora omezená, takže má kladné a pří tom konečné supremum , jehož dvojnásobek
značíme .
Offline
↑ geovektor:
Ve zmiňované Jarníkově knize je základním vlastnostem goniometrických funkcí věnováno
několik stránek.
Jeden krok:
Dosazení do výše uvedené mocninné řady pro triviálně dává .
Když do téže řady dosadíme , pak další úpravou lze odvodit, že .
Funkce je (podle výsledků teorie mocninných řad) navíc spojitá na intervalu .
Podle Bolzanovy věty tak existuje takové, že . Množina všech
takových je tedy neprázdná. Na základě spojitosti fce cosinus můžeme o ni dále říci,
že je uzavřená a zřejmě též omezená. Číselná množina s těmito vlastnostmi je kompaktní
a má svůj nejmenší prvek - označme ho a položme .
Další krok:
Co můžeme říci o chování funkce sinus na intervalu , víme-li dále, že
(viz některý můj starší příspěvek) ?
Offline
teraz rozmyslam kam tymito uvahami smerujeme, myslim ze zo vztahu vieme odvodit: mate na mysli toto? Zo vztahu ma nenapada nic. Tam by sa mohol nejakym sposobom upravit ten interval ? Pomoze nam to nejakym sposobom? Knihu Vojtěch Jarník: Diferenciální poet I. som pozeral v Martine v kniznici, maju ju tam, takze si ju pozicam ked tam pojdem, najblizsie asi ohladom bakalarky. Diki.
Offline
↑ geovektor:
Z již dokázaného (nebo aspoň vyjasněného) jsem se chtěl dostat k tomu, že funkce sinus je na intervalu
rostoucí a zobrazuje ho na . Tím máme základní představu o průběhu obou funkcí na uvedeném intervalu.
Dále: z řad pro cosinus a sinus triviálně plynou vztahy
Budeme ještě potřebovat vzorce
.
Dokazují se tak, že se vezme funkce
a jejím zderivováním podle resp. podle se ukáže, že je konstantní. Dosazení dá ,
odtud ony vzorce. Z nich dosazováním čísla a jeho celočíselných násobků za proměnnou dostáváme další vztahy
a vlastně všechno, co potřebujeme o průběhu těchto funkcí vědět.
Offline
↑ geovektor:
To je nejmenší prvek množiny , jejíž neprázdnost plyne z B. věty, jak podrobně vysvětleno v ↑ Rumburak: .
Offline
↑ geovektor:
Minulý týden jsem byl mimo web (proto jsem v ↑ Rumburak: nastínil celkový plán), takže můžeme pokračovat,
je-li to ještě aktuální. Podotýkám, že jsem nic nedokázal, jen jsem k tomu podal návod, jednotlivé kroky nutno
provést podrobně. Který z nich není ještě jasný ?
Poznámka:
Na tom intervale predsa cosinus nadobuda zapornu hodnotu, takze plati bolzanova veta.
Bolzanova věta platí nezávisle na tom, zda cosinus nabývá na záporných hodnot, či ne. Ale když nabývá,
pak lze B. větu použít díky tomu, že jde o spojitou funkci nabývající v 0 kladné hodnoty - viz předpoklady B. věty.
Taková je logika věci.
Offline
Ano je to aktualne, za ten tyzden som rozmyslal ako to riesit a bol som aj za jednym matikarom, on mi povedal ze ku dokazaniu tychto vlastnosti nie je potrebna bolzanova veta a povedal ze to nevie dokazat s bolzanovou vetou takze som moc nepostupil a ja sam to akosi celkovo nechapem ten Vas postup, neviem no.
Offline
nemá sa urobiť len klasický priebeh funkcie kosínus teda skúmať kde je derivácia kladná a kde záporná ?
Bolzanova veta je tam spomenutá preto, lebo zaručuje , že stačí rozdeliť definičný obor nulovými bodmi derivácie na intervaly a na tých intervaloch potom derivácia (-sin, ktorá je spojitá) nemení znamienko teda kosínus tam nemení monotónnosť
Offline
↑ geovektor:
Zkusím to dát do trochu širšího kontextu.
Chceme-li dokázat, že funkce kosinus definovaná součtem příslušné řady je např. klasající na intervalu ,
pak musíme rovněžtak vědět, co je číslo . Mohli bychom vyjít z klasických geometrických představ a definovat
jako polovinu délky kružnice o poloměru 1. Odvození vztahů takto definovaného čísla k funkci kosinus
definované řadou je sise možné, avšak poněkud krkolomné. Matematická analýza nabízí jinou cestu: číslo
odvodit rovnou z předpisu pro funkci kosinus (tedy z řady), a sice pomocí Bolzanovy věty, jak naznačeno v mém
příspěvku z 30.1.
Jde tedy o poněkud jiný přístup, než jaký známe ze SŠ, kde se číslo i gon. fce se odvozují z kružnice. Pomocí
prostředků matematické analýzy lze zavést a studovat gon. fce a číslo nezávisle na geometrii a geometrické
souvislosti pak prokázat dodatečně.
Matematický důkaz se ovbykle skládá z konečné posloupnosti dílčích kroků, z nicž každý je nutno pochopit,
máme-li rozumět celku. Co KONKRETNĚ není jasné v postupu, který jsem navrhl ?
Offline
ok, celu nasu diskusiu som si precital este raz a myslim ze nerozumiem nasledovnym bodom:
Hned vo vasom prvom prispevku ste uviedli: , tomuto trochu nerozumiem, nema to byt nahodou rovne jednicke?
Dalej nerozumiem vo vasom stvrtom prispevku jednej vete, dovolim si vas citovat: pak další úpravou lze odvodit, že . Tomuto trosku nerozumiem ako to tak snadno je mozne ukazat.
A tiez by som sa chcel spytat ze vo vasom druhom prispevku ste napisali, opat citujem: Dále můžeme definovat Toto sme odvodili zo vztahu ???
Offline
geovektor napsal(a):
Hned vo vasom prvom prispevku ste uviedli: , tomuto trochu nerozumiem, nema to byt nahodou rovne jednicke?
Všimni si ten znak derivácie
geovektor napsal(a):
Dalej nerozumiem vo vasom stvrtom prispevku jednej vete, dovolim si vas citovat: pak další úpravou lze odvodit, že . Tomuto trosku nerozumiem ako to tak snadno je mozne ukazat.
dosdením do radu pre kosínus
A tiez by som sa chcel spytat ze vo vasom druhom prispevku ste napisali, opat citujem: Dále můžeme definovat Toto sme odvodili zo vztahu ???
mysím, že Rumburak predpokladá, že nič okrem rozvoja kosínusu do taylorovho radu sa nepozná
Podľa mňa mal zadávateľ na mysli obyčajný priebeh funkcie s tým, že priebeh sínusu a vlastnosti čísla pi sú už známe
spýtaj sa zadávateľa či preibeh sínusu možno považovať za známy ak áno tak je to klasický prebeh funkcie teda nájdenie nulových bodov derivácie a kukanie kde derivácia je kladná a kde je záporná
Offline
Jarrro dakujem Vam za vase tri odpovede, pomohli ste mi pochopit vsetky tri otazky. Takze teraz sa pokusim zosumarizovat co vieme a idem nacrtnut moj prvy naznak dokazu, snad to nejako spolocne zvladneme.
Takze:
Ak to spravne chapem, tak vlastnosti ktore nebudeme dokazovat, ktore "vieme" su:
1, Sinus nadobuda kladne hodnoty na
2, Sinus nadobuda zaporne hodnoty na
3, Funkcia sinus je spojita
Z tohoto bezprostredne vypliva, ze hodnoty v krajnych bodoch su nulove. To je poznatok, ktory sme odvodili z predchadzajucich troch
Z podmienky 1, a derivacie vieme ze je
Z podmienky 2, a derivacie vieme ze je
Dalej vieme, ze: a
Vieme ze a z toho odvodime:
Dalej vieme ze a tiez vieme ze cosinus je spojita funkcia takze musi existovat take ze funckia cosinus nadobuda na intervale a myslim ze aj na kladne hodnoty.
Dalej polozime , to mozeme pretoze a a plati bolzanova veta, takze musi existovat take ze a
Dalej pozname vztahy:
a
a
Tu by som asi nejako takto zastal, priznam sa ze poslednemu vztahu nerozumiem, metie ma toto: co znamena ten vztah toho eFka s tymi x,y premennymi?
Offline
↑ geovektor1:
Shrnul bych to asi takto:
I. Základními vztahy jsou :
(1) ,
(2) ,
(3) ,
(4) .
Jako definice lze vnímat buďto vztahy (1), (2) (že obě řady v uvedeném rozsahu konvergují, by se muselo zdůvodnit)
a z nich odvodit (3), (4),
nebo vzít jako definice vztahy (1), (3) a z nich odvodit (2), (4) ,
případně vzít jako definice vztahy (2), (4) a z nich odvodit (1), (3).
Všechny tyto přístupy jsou ekvivalentní.
Odtud se odvozováním či dokazováním obdrží:
II. Funkce jsou v libovolném spojité a mají konečné derivace všech řádů.
III. Pro libovolné je
(5) .
IV. Dosazením do (1), (2) dostáváme
(6) .
V. Z (3), (4) plyne (podle vět o aritmetice derivací a o derivaci složené funkce) ,
takže funkce je konstantní , odtud a podle (6) pak
(7) .
VI. Úpravou vzorce (2) dostáváme
,
speciálně pro je
.
Snadno nahlédneme, že všechny uzávorkované výrazy v poslední nekonečné řadě představují kladná čísla, odtud
.
O funkci tedy máme zjištěno, že je spojitá na intervalu , při čemž .
Podle Bolzanovy věty tedy existuje takové, že . Kolik takových existuje, to B. věta naříká.
Avšak na základě spojitosti funkce lze dokázat, že mezi nimi existuje jedno takové, které je znich nejmenší.
Toto číslo označme .
VII. Takže na intervalu nabývá funkce pouze kladných hodnot. Tedy funkce má na tomto intervalu
kladnou derivaci (), proto je zde rostoucí a vzhledem ke spojitosti v nule (a hodnotě ) kladná.
Na uvedeném intervalu je naopak klesající (má zde zápornou derivac ).
Pomocí vztahů (5) lze pak snadno rozhodnout o průběhu obou funkcí na intervalu . Pomocí spojitosti obou
funkcí můžeme učinit závěry o jejich průběhu na intervalu - na základě druhých derivací i pokud jde
o konvexnost resp. konkávnost.
Zbytek doplním později.
Offline
tomuto zatial rozumiem, a aky zbytok chcete doplnit neskor? Toto nie je cely dokaz?
Offline
↑ geovektor1:
Zatím máme (alespoň v pricnipu) vyšetřen průběh funkcí pouze na inervalu .
K dalšímu budeme potřebovat vzorce pro součet argumentů, které ještě odvozeny nemáme. K tomu položme
,
kde je funkční proměnná, zatímco prozatím vnímáme jako libovolnou, avšak pevně zvolenou
konstantu (abychom se vyhnuli teorii funkcí více proměnných). Snadno zjistíme, že .
Odtud obdobně jako v IV. odvodíme, že , takže je konstantní
funkce. Zřejmě , takže a odtud .
Tím jsou vzorce
dokázány. Dosazením máme
(že plyne z předchozích výsledků) a odtud můžeme získat poznatky o průběhu funkcí
na intervalu atd.
Mimo to klademe .
Offline