Matematické Fórum

Brano · 04. 05. 2015 17:33

takato srandicka mi napadla:

Nech $M=\{1,2,...,n\}$ , nech $\sim$ je nejaka relacia ekvivalencie na $M$ a nech $A$ je matica dana
$A_{ij}=\begin{cases}1 & i\ge j\ \&\ i\sim j\\0&\text{inak}\end{cases}.$
Dokazte, ze $A$ je kladne definitna.

OiBobik · 04. 05. 2015 18:15

↑ Brano:↑ Brano:

Ahoj,
co je to znamená být pozitivně definitní matice, pro matici, která není symetrická?

Brano · 04. 05. 2015 18:41

↑ OiBobik:
no vidis aj som zabudol, ze obvykle je v definicii symetrickost - tak v tomto pripade si dodefinujme, ze
$C$ je kladne definitna prave vtedy ked pre vsetky $x\not=0$ plati $x^TCx>0$

check_drummer · 05. 05. 2015 00:24

↑ Brano:
Ahoj, sice to s tématem úplně nesouvisí, ale nestačí pro ověření pozitivní definitnosti (myslím obecně, ne jen pro naší matici) dokázat, že je splněna jen pro ty vektory, které mají jen jednu nenulovou složku? Tedy otázka zní, zda platí pro x=y+z že z (*) $y^TCy>0$ a $z^TCz>0$ již plyne $x^TCx>0$ ? (znamenalo by to, že výrazy v (*) "převáží" výrazy $y^TCz$ a $y^TCz$ - trochu to připomíná Cauchyho nerovnost, ale zase by to znamenalo, že by pak pozitivní definitnost závisela jen na diagonálních prvcích, což hádám nezávisí.) Pokud to neplatí, tak se nabízí zeslabení - volit x s jen dvěma nenulovými složkami...

Brano · 05. 05. 2015 00:38

nestcia ani dvojice - napr.
$\begin{pmatrix}3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & -2 \\ -2 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

check_drummer · 05. 05. 2015 00:48

↑ Brano:
A co kdyby ta matice byla jen s nezápornými vstupy? A nebo dokonce navíc ještě trojúhelníková?...

check_drummer · 05. 05. 2015 01:08

↑ Brano:
Dospěl jsem k

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Brano · 05. 05. 2015 02:31

↑ check_drummer:
a to je presne ono - dokaz toho je tak na riadok :-)

vanok · 05. 05. 2015 08:08 — Editoval vanok (07. 05. 2015 10:49)

Pozdravujem ↑ Brano:,
Ak dobre rozumiem, popisujes dolnu trojuholnikovu maticu, ktorej cleny su 0 alebo 1.(a jej diagonala je jednotkova).
Édit. Nepozozna odpoved opravena vdaka upozorneniu ↑ check_drummer:, dakujem.

Brano · 05. 05. 2015 09:00

↑ vanok:
ano

Brano · 06. 05. 2015 20:33

este by som dal taku poznamku k tomu preco je pri skumani definitnosti predpoklad symetrickej matice
(aj ked to je asi viacerim jasne ale tak vznikla na zaciatku k tomu otazka)

Totizto zaujimame sa pri tom o kvadraticku formu co z tej matice vznika t.j.
$M\mapsto x^TMx$
no a kazda matica sa da rozdelit na symetricku a antisymetricku cast - a to konkretne
$M=\underbrace{\frac{M+M^T}{2}}_{S}+\underbrace{\frac{M-M^T}{2}}_{A}$
a vsimnime si ake kvadraticke formy prisluchaju antisymetrickym maticiam
$x^TAx=(x^TAx)^T=x^TA^Tx=x^T(-A)x=-x^TAx$ a teda $x^TAx=0$ vzdy, cize $x^TMx=x^TSx$ - alebo inymi slovami vsetkym maticiam s rovnakou symetrizaciou prislucha ta ista kvadraticka forma a teda staci skumat symetricke matice (co sa teda kvadratickych forim tyka).

Ja som zvolil otazku o nesymetrickej matici cisto z estetickeho hladiska.

check_drummer · 07. 05. 2015 00:02

↑ Brano:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

check_drummer · 07. 05. 2015 00:03

↑ Brano:
Pokud je konvence, že první index v matici onačuje řádky, pak je ta matice dolní trojúhelníková a nikoli horní...
Ale na výsledku to nic nemění.

Brano · 07. 05. 2015 10:16

↑ check_drummer:
ano
↑ check_drummer:
ano - ja som povodne nad nou rozmyslal ako nad hornou trojuholnikovou a do zadania som omylom (resp. bez rozmyslania) napisal opacnu nerovnost s tym, ze "ved to je jedno"

vanok · 07. 05. 2015 10:48

Pozdravujem,
↑ check_drummer:,
Mas pravdu, napisal som ↑ vanok: priliz rychlo. Tak to opravim.
↑ Brano:,
To je velmi dobra poznamka, a na viac, ak pozreme na (realne) bilinearne formy v literature, skoro vzdy, definitna pozitivna forma je definovana ako pozitvna, ktora na viac splnuje podmienku ako tu ↑ Brano:.

Matematické Fórum

#1 04. 05. 2015 17:33

matica relacie

#2 04. 05. 2015 18:15

Re: matica relacie

#3 04. 05. 2015 18:41

Re: matica relacie

#4 05. 05. 2015 00:24

Re: matica relacie

#5 05. 05. 2015 00:38

Re: matica relacie

#6 05. 05. 2015 00:48

Re: matica relacie

#7 05. 05. 2015 01:08

Re: matica relacie

#8 05. 05. 2015 02:31

Re: matica relacie

#9 05. 05. 2015 08:08 — Editoval vanok (07. 05. 2015 10:49)

Re: matica relacie

#10 05. 05. 2015 09:00

Re: matica relacie

#11 06. 05. 2015 20:33

Re: matica relacie

#12 07. 05. 2015 00:02

Re: matica relacie

#13 07. 05. 2015 00:03

Re: matica relacie

#14 07. 05. 2015 10:16

Re: matica relacie

#15 07. 05. 2015 10:48

Re: matica relacie

Zápatí